Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
15 / 15651 / 9852
↖ ↑ ↗
← N 58.101106°
W  8.052979°		 ← 645.54 m → N 58.101106°
W  8.041992°		 →
↑
645.57 m
↓
↑
645.57 m
↓
N 58.095300°
W  8.052979°		 ← 645.65 m →
416 778 m²		 N 58.095300°
W  8.041992°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 15651 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 9852 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.477645874023438 y=0.300674438476562 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.477645874023438 × 215)
    floor (0.477645874023438 × 32768)
    floor (15651.5)     		tx = 15651
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.300674438476562 × 215)
    floor (0.300674438476562 × 32768)
    floor (9852.5)     		ty = 9852
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 15651 / 9852 ti = "15/15651/9852"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/15651/9852.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 15651 ÷ 215
    15651 ÷ 32768     		x = 0.477630615234375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 9852 ÷ 215
    9852 ÷ 32768     		y = 0.3006591796875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.477630615234375 × 2 - 1) × π
    -0.04473876953125 × 3.1415926535     		Λ = -0.14055099
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.3006591796875 × 2 - 1) × π
    0.398681640625 × 3.1415926535     		Φ = 1.25249531327283
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.14055099} λ = -0.14055099}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.25249531327283))-π/2
    2×atan(3.49906333207873)-π/2
    2×1.29242595837627-π/2
    2.58485191675254-1.57079632675     		φ = 1.01405559
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.14055099} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -8.052979°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.01405559 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 58.101106°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 15651 KachelY 9852 -0.14055099 1.01405559 -8.052979 58.101106
    Oben rechts KachelX + 1 15652 KachelY 9852 -0.14035924 1.01405559 -8.041992 58.101106
    Unten links KachelX 15651 KachelY + 1 9853 -0.14055099 1.01395426 -8.052979 58.095300
    Unten rechts KachelX + 1 15652 KachelY + 1 9853 -0.14035924 1.01395426 -8.041992 58.095300
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.01405559-1.01395426) × R
    0.0001013299999999 × 6371000     		dl = 645.57342999936m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.01405559-1.01395426) × R
    0.0001013299999999 × 6371000     		dr = 645.57342999936m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.14055099--0.14035924) × cos(1.01405559) × R
    0.000191749999999991 × 0.528421954062251 × 6371000     		do = 645.540999644111m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.14055099--0.14035924) × cos(1.01395426) × R
    0.000191749999999991 × 0.528507978683499 × 6371000     		du = 645.646090697894m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.01405559)-sin(1.01395426))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.528421954062251-0.528507978683499)×R²
    abs(-0.14035924--0.14055099)×8.60246212477378e-05×R²
    0.000191749999999991×8.60246212477378e-05×6371000²
    0.000191749999999991×8.60246212477378e-05×40589641000000     		ar = 416778.039697705m²