Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 15651 / 19730
↖ ↑ ↗
← S 34.470335°
W  8.052979°		 ← 1 007.14 m → S 34.470335°
W  8.041992°		 →
↑
1 007.06 m
↓
↑
1 007.06 m
↓
S 34.479392°
W  8.052979°		 ← 1 007.03 m →
1 014 202 m²		 S 34.479392°
W  8.041992°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 15651 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 19730 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.477645874023438 y=0.602127075195312 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.477645874023438 × 215)
    floor (0.477645874023438 × 32768)
    floor (15651.5)     		tx = 15651
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.602127075195312 × 215)
    floor (0.602127075195312 × 32768)
    floor (19730.5)     		ty = 19730
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 15651 / 19730 ti = "15/15651/19730"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/15651/19730.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 15651 ÷ 215
    15651 ÷ 32768     		x = 0.477630615234375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 19730 ÷ 215
    19730 ÷ 32768     		y = 0.60211181640625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.477630615234375 × 2 - 1) × π
    -0.04473876953125 × 3.1415926535     		Λ = -0.14055099
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.60211181640625 × 2 - 1) × π
    -0.2042236328125 × 3.1415926535     		Φ = -0.641587464514832
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.14055099} λ = -0.14055099}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.641587464514832))-π/2
    2×atan(0.526456030079455)-π/2
    2×0.484587742339465-π/2
    0.969175484678931-1.57079632675     		φ = -0.60162084
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.14055099} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -8.052979°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.60162084 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -34.470335°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 15651 KachelY 19730 -0.14055099 -0.60162084 -8.052979 -34.470335
    Oben rechts KachelX + 1 15652 KachelY 19730 -0.14035924 -0.60162084 -8.041992 -34.470335
    Unten links KachelX 15651 KachelY + 1 19731 -0.14055099 -0.60177891 -8.052979 -34.479392
    Unten rechts KachelX + 1 15652 KachelY + 1 19731 -0.14035924 -0.60177891 -8.041992 -34.479392
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.60162084--0.60177891) × R
    0.000158069999999899 × 6371000     		dl = 1007.06396999936m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.60162084--0.60177891) × R
    0.000158069999999899 × 6371000     		dr = 1007.06396999936m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.14055099--0.14035924) × cos(-0.60162084) × R
    0.000191749999999991 × 0.824419336075258 × 6371000     		do = 1007.14301940843m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.14055099--0.14035924) × cos(-0.60177891) × R
    0.000191749999999991 × 0.824329861401586 × 6371000     		du = 1007.03371363519m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.60162084)-sin(-0.60177891))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.824419336075258-0.824329861401586)×R²
    abs(-0.14035924--0.14055099)×8.94746736713747e-05×R²
    0.000191749999999991×8.94746736713747e-05×6371000²
    0.000191749999999991×8.94746736713747e-05×40589641000000     		ar = 1014202.41064152m²