Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 15651 / 19104
↖ ↑ ↗
← S 28.613460°
W  8.052979°		 ← 1 072.44 m → S 28.613460°
W  8.041992°		 →
↑
1 072.37 m
↓
↑
1 072.37 m
↓
S 28.623104°
W  8.052979°		 ← 1 072.34 m →
1 149 997 m²		 S 28.623104°
W  8.041992°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 15651 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 19104 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.477645874023438 y=0.583023071289062 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.477645874023438 × 215)
    floor (0.477645874023438 × 32768)
    floor (15651.5)     		tx = 15651
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.583023071289062 × 215)
    floor (0.583023071289062 × 32768)
    floor (19104.5)     		ty = 19104
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 15651 / 19104 ti = "15/15651/19104"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/15651/19104.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 15651 ÷ 215
    15651 ÷ 32768     		x = 0.477630615234375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 19104 ÷ 215
    19104 ÷ 32768     		y = 0.5830078125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.477630615234375 × 2 - 1) × π
    -0.04473876953125 × 3.1415926535     		Λ = -0.14055099
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.5830078125 × 2 - 1) × π
    -0.166015625 × 3.1415926535     		Φ = -0.521553467866211
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.14055099} λ = -0.14055099}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.521553467866211))-π/2
    2×atan(0.593597696398841)-π/2
    2×0.535698624736653-π/2
    1.07139724947331-1.57079632675     		φ = -0.49939908
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.14055099} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -8.052979°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.49939908 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -28.613460°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 15651 KachelY 19104 -0.14055099 -0.49939908 -8.052979 -28.613460
    Oben rechts KachelX + 1 15652 KachelY 19104 -0.14035924 -0.49939908 -8.041992 -28.613460
    Unten links KachelX 15651 KachelY + 1 19105 -0.14055099 -0.49956740 -8.052979 -28.623104
    Unten rechts KachelX + 1 15652 KachelY + 1 19105 -0.14035924 -0.49956740 -8.041992 -28.623104
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.49939908--0.49956740) × R
    0.00016832 × 6371000     		dl = 1072.36672m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.49939908--0.49956740) × R
    0.00016832 × 6371000     		dr = 1072.36672m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.14055099--0.14035924) × cos(-0.49939908) × R
    0.000191749999999991 × 0.877870499818039 × 6371000     		do = 1072.44105899478m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.14055099--0.14035924) × cos(-0.49956740) × R
    0.000191749999999991 × 0.877789879255294 × 6371000     		du = 1072.34256975097m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.49939908)-sin(-0.49956740))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.877870499818039-0.877789879255294)×R²
    abs(-0.14035924--0.14055099)×8.06205627446044e-05×R²
    0.000191749999999991×8.06205627446044e-05×6371000²
    0.000191749999999991×8.06205627446044e-05×40589641000000     		ar = 1149997.29524883m²