Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 15650 / 9899
↖ ↑ ↗
← N 57.827205°
W  8.063965°		 ← 650.49 m → N 57.827205°
W  8.052979°		 →
↑
650.54 m
↓
↑
650.54 m
↓
N 57.821355°
W  8.063965°		 ← 650.60 m →
423 207 m²		 N 57.821355°
W  8.052979°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 15650 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 9899 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.477615356445312 y=0.302108764648438 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.477615356445312 × 215)
    floor (0.477615356445312 × 32768)
    floor (15650.5)     		tx = 15650
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.302108764648438 × 215)
    floor (0.302108764648438 × 32768)
    floor (9899.5)     		ty = 9899
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 15650 / 9899 ti = "15/15650/9899"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/15650/9899.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 15650 ÷ 215
    15650 ÷ 32768     		x = 0.47760009765625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 9899 ÷ 215
    9899 ÷ 32768     		y = 0.302093505859375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.47760009765625 × 2 - 1) × π
    -0.0447998046875 × 3.1415926535     		Λ = -0.14074274
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.302093505859375 × 2 - 1) × π
    0.39581298828125 × 3.1415926535     		Φ = 1.24348317614426
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.14074274} λ = -0.14074274}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.24348317614426))-π/2
    2×atan(3.46767096214989)-π/2
    2×1.29003572954328-π/2
    2.58007145908656-1.57079632675     		φ = 1.00927513
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.14074274} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -8.063965°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.00927513 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 57.827205°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 15650 KachelY 9899 -0.14074274 1.00927513 -8.063965 57.827205
    Oben rechts KachelX + 1 15651 KachelY 9899 -0.14055099 1.00927513 -8.052979 57.827205
    Unten links KachelX 15650 KachelY + 1 9900 -0.14074274 1.00917302 -8.063965 57.821355
    Unten rechts KachelX + 1 15651 KachelY + 1 9900 -0.14055099 1.00917302 -8.052979 57.821355
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.00927513-1.00917302) × R
    0.000102110000000044 × 6371000     		dl = 650.542810000281m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.00927513-1.00917302) × R
    0.000102110000000044 × 6371000     		dr = 650.542810000281m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.14074274--0.14055099) × cos(1.00927513) × R
    0.000191750000000018 × 0.532474424590291 × 6371000     		do = 650.491656700727m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.14074274--0.14055099) × cos(1.00917302) × R
    0.000191750000000018 × 0.532560852424716 × 6371000     		du = 650.597240335553m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.00927513)-sin(1.00917302))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.532474424590291-0.532560852424716)×R²
    abs(-0.14055099--0.14074274)×8.64278344242519e-05×R²
    0.000191750000000018×8.64278344242519e-05×6371000²
    0.000191750000000018×8.64278344242519e-05×40589641000000     		ar = 423207.013937028m²