Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 15650 / 19789
↖ ↑ ↗
← S 35.003004°
W  8.063965°		 ← 1 000.67 m → S 35.003004°
W  8.052979°		 →
↑
1 000.57 m
↓
↑
1 000.57 m
↓
S 35.012002°
W  8.063965°		 ← 1 000.56 m →
1 001 182 m²		 S 35.012002°
W  8.052979°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 15650 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 19789 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.477615356445312 y=0.603927612304688 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.477615356445312 × 215)
    floor (0.477615356445312 × 32768)
    floor (15650.5)     		tx = 15650
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.603927612304688 × 215)
    floor (0.603927612304688 × 32768)
    floor (19789.5)     		ty = 19789
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 15650 / 19789 ti = "15/15650/19789"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/15650/19789.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 15650 ÷ 215
    15650 ÷ 32768     		x = 0.47760009765625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 19789 ÷ 215
    19789 ÷ 32768     		y = 0.603912353515625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.47760009765625 × 2 - 1) × π
    -0.0447998046875 × 3.1415926535     		Λ = -0.14074274
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.603912353515625 × 2 - 1) × π
    -0.20782470703125 × 3.1415926535     		Φ = -0.652900572825165
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.14074274} λ = -0.14074274}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.652900572825165))-π/2
    2×atan(0.520533738915499)-π/2
    2×0.479939334737925-π/2
    0.95987866947585-1.57079632675     		φ = -0.61091766
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.14074274} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -8.063965°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.61091766 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -35.003004°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 15650 KachelY 19789 -0.14074274 -0.61091766 -8.063965 -35.003004
    Oben rechts KachelX + 1 15651 KachelY 19789 -0.14055099 -0.61091766 -8.052979 -35.003004
    Unten links KachelX 15650 KachelY + 1 19790 -0.14074274 -0.61107471 -8.063965 -35.012002
    Unten rechts KachelX + 1 15651 KachelY + 1 19790 -0.14055099 -0.61107471 -8.052979 -35.012002
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.61091766--0.61107471) × R
    0.000157049999999992 × 6371000     		dl = 1000.56554999995m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.61091766--0.61107471) × R
    0.000157049999999992 × 6371000     		dr = 1000.56554999995m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.14074274--0.14055099) × cos(-0.61091766) × R
    0.000191750000000018 × 0.819121975253103 × 6371000     		do = 1000.67155550681m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.14074274--0.14055099) × cos(-0.61107471) × R
    0.000191750000000018 × 0.819031878228617 × 6371000     		du = 1000.56148944539m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.61091766)-sin(-0.61107471))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.819121975253103-0.819031878228617)×R²
    abs(-0.14055099--0.14074274)×9.00970244857024e-05×R²
    0.000191750000000018×9.00970244857024e-05×6371000²
    0.000191750000000018×9.00970244857024e-05×40589641000000     		ar = 1001182.42320833m²