Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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11 / 1565 / 1523
↖ ↑ ↗
← S 65.585720°
E 95.097656°		 ← 8 078.96 m → S 65.585720°
E 95.273437°		 →
↑
8 067.66 m
↓
↑
8 067.66 m
↓
S 65.658274°
E 95.097656°		 ← 8 056.42 m →
65 087 412 m²		 S 65.658274°
E 95.273437°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 11 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 1565 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1523 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.764404296875 y=0.743896484375 und der Vergrößerungsstufe zoom=11 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.764404296875 × 211)
    floor (0.764404296875 × 2048)
    floor (1565.5)     		tx = 1565
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.743896484375 × 211)
    floor (0.743896484375 × 2048)
    floor (1523.5)     		ty = 1523
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 11 / 1565 / 1523 ti = "11/1565/1523"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/11/1565/1523.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 1565 ÷ 211
    1565 ÷ 2048     		x = 0.76416015625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1523 ÷ 211
    1523 ÷ 2048     		y = 0.74365234375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.76416015625 × 2 - 1) × π
    0.5283203125 × 3.1415926535     		Λ = 1.65976721
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.74365234375 × 2 - 1) × π
    -0.4873046875 × 3.1415926535     		Φ = -1.53091282626611
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.65976721} λ = 1.65976721}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.53091282626611))-π/2
    2×atan(0.216338098058253)-π/2
    2×0.213054785057659-π/2
    0.426109570115318-1.57079632675     		φ = -1.14468676
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.65976721} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 95.097656°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.14468676 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -65.585720°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 1565 KachelY 1523 1.65976721 -1.14468676 95.097656 -65.585720
    Oben rechts KachelX + 1 1566 KachelY 1523 1.66283517 -1.14468676 95.273437 -65.585720
    Unten links KachelX 1565 KachelY + 1 1524 1.65976721 -1.14595307 95.097656 -65.658274
    Unten rechts KachelX + 1 1566 KachelY + 1 1524 1.66283517 -1.14595307 95.273437 -65.658274
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.14468676--1.14595307) × R
    0.0012663100000001 × 6371000     		dl = 8067.66101000066m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.14468676--1.14595307) × R
    0.0012663100000001 × 6371000     		dr = 8067.66101000066m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.65976721-1.66283517) × cos(-1.14468676) × R
    0.00306795999999987 × 0.413331386050995 × 6371000     		do = 8078.964177938m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.65976721-1.66283517) × cos(-1.14595307) × R
    0.00306795999999987 × 0.412177977547995 × 6371000     		du = 8056.41968629586m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.14468676)-sin(-1.14595307))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.413331386050995-0.412177977547995)×R²
    abs(1.66283517-1.65976721)×0.00115340850299961×R²
    0.00306795999999987×0.00115340850299961×6371000²
    0.00306795999999987×0.00115340850299961×40589641000000     		ar = 65087412.3389649m²