Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 15649 / 9891
↖ ↑ ↗
← N 57.873975°
W  8.074951°		 ← 649.61 m → N 57.873975°
W  8.063965°		 →
↑
649.71 m
↓
↑
649.71 m
↓
N 57.868132°
W  8.074951°		 ← 649.72 m →
422 098 m²		 N 57.868132°
W  8.063965°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 15649 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 9891 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.477584838867188 y=0.301864624023438 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.477584838867188 × 215)
    floor (0.477584838867188 × 32768)
    floor (15649.5)     		tx = 15649
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.301864624023438 × 215)
    floor (0.301864624023438 × 32768)
    floor (9891.5)     		ty = 9891
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 15649 / 9891 ti = "15/15649/9891"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/15649/9891.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 15649 ÷ 215
    15649 ÷ 32768     		x = 0.477569580078125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 9891 ÷ 215
    9891 ÷ 32768     		y = 0.301849365234375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.477569580078125 × 2 - 1) × π
    -0.04486083984375 × 3.1415926535     		Λ = -0.14093448
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.301849365234375 × 2 - 1) × π
    0.39630126953125 × 3.1415926535     		Φ = 1.2450171569321
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.14093448} λ = -0.14093448}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.2450171569321))-π/2
    2×atan(3.47299438475451)-π/2
    2×1.29044386723822-π/2
    2.58088773447644-1.57079632675     		φ = 1.01009141
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.14093448} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -8.074951°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.01009141 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 57.873975°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 15649 KachelY 9891 -0.14093448 1.01009141 -8.074951 57.873975
    Oben rechts KachelX + 1 15650 KachelY 9891 -0.14074274 1.01009141 -8.063965 57.873975
    Unten links KachelX 15649 KachelY + 1 9892 -0.14093448 1.00998943 -8.074951 57.868132
    Unten rechts KachelX + 1 15650 KachelY + 1 9892 -0.14074274 1.00998943 -8.063965 57.868132
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.01009141-1.00998943) × R
    0.000101979999999946 × 6371000     		dl = 649.714579999656m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.01009141-1.00998943) × R
    0.000101979999999946 × 6371000     		dr = 649.714579999656m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.14093448--0.14074274) × cos(1.01009141) × R
    0.000191739999999996 × 0.531783310253489 × 6371000     		do = 649.613484385879m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.14093448--0.14074274) × cos(1.00998943) × R
    0.000191739999999996 × 0.531869672357242 × 6371000     		du = 649.718982219406m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.01009141)-sin(1.00998943))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.531783310253489-0.531869672357242)×R²
    abs(-0.14074274--0.14093448)×8.63621037527906e-05×R²
    0.000191739999999996×8.63621037527906e-05×6371000²
    0.000191739999999996×8.63621037527906e-05×40589641000000     		ar = 422097.624275493m²