Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 15649 / 9889
↖ ↑ ↗
← N 57.885657°
W  8.074951°		 ← 649.40 m → N 57.885657°
W  8.063965°		 →
↑
649.46 m
↓
↑
649.46 m
↓
N 57.879817°
W  8.074951°		 ← 649.51 m →
421 795 m²		 N 57.879817°
W  8.063965°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 15649 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 9889 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.477584838867188 y=0.301803588867188 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.477584838867188 × 215)
    floor (0.477584838867188 × 32768)
    floor (15649.5)     		tx = 15649
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.301803588867188 × 215)
    floor (0.301803588867188 × 32768)
    floor (9889.5)     		ty = 9889
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 15649 / 9889 ti = "15/15649/9889"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/15649/9889.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 15649 ÷ 215
    15649 ÷ 32768     		x = 0.477569580078125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 9889 ÷ 215
    9889 ÷ 32768     		y = 0.301788330078125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.477569580078125 × 2 - 1) × π
    -0.04486083984375 × 3.1415926535     		Λ = -0.14093448
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.301788330078125 × 2 - 1) × π
    0.39642333984375 × 3.1415926535     		Φ = 1.24540065212906
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.14093448} λ = -0.14093448}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.24540065212906))-π/2
    2×atan(3.47432651683694)-π/2
    2×1.290545818854-π/2
    2.581091637708-1.57079632675     		φ = 1.01029531
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.14093448} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -8.074951°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.01029531 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 57.885657°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 15649 KachelY 9889 -0.14093448 1.01029531 -8.074951 57.885657
    Oben rechts KachelX + 1 15650 KachelY 9889 -0.14074274 1.01029531 -8.063965 57.885657
    Unten links KachelX 15649 KachelY + 1 9890 -0.14093448 1.01019337 -8.074951 57.879817
    Unten rechts KachelX + 1 15650 KachelY + 1 9890 -0.14074274 1.01019337 -8.063965 57.879817
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.01029531-1.01019337) × R
    0.000101939999999967 × 6371000     		dl = 649.45973999979m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.01029531-1.01019337) × R
    0.000101939999999967 × 6371000     		dr = 649.45973999979m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.14093448--0.14074274) × cos(1.01029531) × R
    0.000191739999999996 × 0.531610620274702 × 6371000     		do = 649.40253053179m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.14093448--0.14074274) × cos(1.01019337) × R
    0.000191739999999996 × 0.531696959557926 × 6371000     		du = 649.508000488317m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.01029531)-sin(1.01019337))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.531610620274702-0.531696959557926)×R²
    abs(-0.14074274--0.14093448)×8.63392832231025e-05×R²
    0.000191739999999996×8.63392832231025e-05×6371000²
    0.000191739999999996×8.63392832231025e-05×40589641000000     		ar = 421795.048245408m²