Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 15648 / 8417
↖ ↑ ↗
← N 65.508409°
W  8.085937°		 ← 506.44 m → N 65.508409°
W  8.074951°		 →
↑
506.49 m
↓
↑
506.49 m
↓
N 65.503854°
W  8.085937°		 ← 506.53 m →
256 533 m²		 N 65.503854°
W  8.074951°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 15648 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 8417 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.477554321289062 y=0.256881713867188 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.477554321289062 × 215)
    floor (0.477554321289062 × 32768)
    floor (15648.5)     		tx = 15648
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.256881713867188 × 215)
    floor (0.256881713867188 × 32768)
    floor (8417.5)     		ty = 8417
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 15648 / 8417 ti = "15/15648/8417"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/15648/8417.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 15648 ÷ 215
    15648 ÷ 32768     		x = 0.4775390625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 8417 ÷ 215
    8417 ÷ 32768     		y = 0.256866455078125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4775390625 × 2 - 1) × π
    -0.044921875 × 3.1415926535     		Λ = -0.14112623
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.256866455078125 × 2 - 1) × π
    0.48626708984375 × 3.1415926535     		Φ = 1.52765311709195
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.14112623} λ = -0.14112623}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.52765311709195))-π/2
    2×atan(4.60735121023995)-π/2
    2×1.35706687108817-π/2
    2.71413374217635-1.57079632675     		φ = 1.14333742
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.14112623} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -8.085937°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.14333742 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 65.508409°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 15648 KachelY 8417 -0.14112623 1.14333742 -8.085937 65.508409
    Oben rechts KachelX + 1 15649 KachelY 8417 -0.14093448 1.14333742 -8.074951 65.508409
    Unten links KachelX 15648 KachelY + 1 8418 -0.14112623 1.14325792 -8.085937 65.503854
    Unten rechts KachelX + 1 15649 KachelY + 1 8418 -0.14093448 1.14325792 -8.074951 65.503854
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.14333742-1.14325792) × R
    7.95000000000101e-05 × 6371000     		dl = 506.494500000064m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.14333742-1.14325792) × R
    7.95000000000101e-05 × 6371000     		dr = 506.494500000064m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.14112623--0.14093448) × cos(1.14333742) × R
    0.000191749999999991 × 0.414559692325891 × 6371000     		do = 506.442391613208m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.14112623--0.14093448) × cos(1.14325792) × R
    0.000191749999999991 × 0.414632037774409 × 6371000     		du = 506.530771652675m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.14333742)-sin(1.14325792))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.414559692325891-0.414632037774409)×R²
    abs(-0.14093448--0.14112623)×7.23454485173081e-05×R²
    0.000191749999999991×7.23454485173081e-05×6371000²
    0.000191749999999991×7.23454485173081e-05×40589641000000     		ar = 256532.668056096m²