Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 15648 / 19744
↖ ↑ ↗
← S 34.597042°
W  8.085937°		 ← 1 005.61 m → S 34.597042°
W  8.074951°		 →
↑
1 005.53 m
↓
↑
1 005.53 m
↓
S 34.606085°
W  8.085937°		 ← 1 005.50 m →
1 011 122 m²		 S 34.606085°
W  8.074951°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 15648 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 19744 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.477554321289062 y=0.602554321289062 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.477554321289062 × 215)
    floor (0.477554321289062 × 32768)
    floor (15648.5)     		tx = 15648
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.602554321289062 × 215)
    floor (0.602554321289062 × 32768)
    floor (19744.5)     		ty = 19744
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 15648 / 19744 ti = "15/15648/19744"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/15648/19744.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 15648 ÷ 215
    15648 ÷ 32768     		x = 0.4775390625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 19744 ÷ 215
    19744 ÷ 32768     		y = 0.6025390625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4775390625 × 2 - 1) × π
    -0.044921875 × 3.1415926535     		Λ = -0.14112623
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.6025390625 × 2 - 1) × π
    -0.205078125 × 3.1415926535     		Φ = -0.644271930893555
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.14112623} λ = -0.14112623}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.644271930893555))-π/2
    2×atan(0.525044671786337)-π/2
    2×0.483482020452084-π/2
    0.966964040904168-1.57079632675     		φ = -0.60383229
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.14112623} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -8.085937°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.60383229 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -34.597042°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 15648 KachelY 19744 -0.14112623 -0.60383229 -8.085937 -34.597042
    Oben rechts KachelX + 1 15649 KachelY 19744 -0.14093448 -0.60383229 -8.074951 -34.597042
    Unten links KachelX 15648 KachelY + 1 19745 -0.14112623 -0.60399012 -8.085937 -34.606085
    Unten rechts KachelX + 1 15649 KachelY + 1 19745 -0.14093448 -0.60399012 -8.074951 -34.606085
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.60383229--0.60399012) × R
    0.000157829999999914 × 6371000     		dl = 1005.53492999945m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.60383229--0.60399012) × R
    0.000157829999999914 × 6371000     		dr = 1005.53492999945m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.14112623--0.14093448) × cos(-0.60383229) × R
    0.000191749999999991 × 0.823165685885591 × 6371000     		do = 1005.61151113096m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.14112623--0.14093448) × cos(-0.60399012) × R
    0.000191749999999991 × 0.823076059562843 × 6371000     		du = 1005.50202009726m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.60383229)-sin(-0.60399012))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.823165685885591-0.823076059562843)×R²
    abs(-0.14093448--0.14112623)×8.96263227482264e-05×R²
    0.000191749999999991×8.96263227482264e-05×6371000²
    0.000191749999999991×8.96263227482264e-05×40589641000000     		ar = 1011122.45402128m²