Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 15646 / 8586
↖ ↑ ↗
← N 64.727262°
W  8.107910°		 ← 521.55 m → N 64.727262°
W  8.096924°		 →
↑
521.59 m
↓
↑
521.59 m
↓
N 64.722571°
W  8.107910°		 ← 521.64 m →
272 062 m²		 N 64.722571°
W  8.096924°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 15646 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 8586 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.477493286132812 y=0.262039184570312 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.477493286132812 × 215)
    floor (0.477493286132812 × 32768)
    floor (15646.5)     		tx = 15646
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.262039184570312 × 215)
    floor (0.262039184570312 × 32768)
    floor (8586.5)     		ty = 8586
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 15646 / 8586 ti = "15/15646/8586"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/15646/8586.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 15646 ÷ 215
    15646 ÷ 32768     		x = 0.47747802734375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 8586 ÷ 215
    8586 ÷ 32768     		y = 0.26202392578125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.47747802734375 × 2 - 1) × π
    -0.0450439453125 × 3.1415926535     		Λ = -0.14150973
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.26202392578125 × 2 - 1) × π
    0.4759521484375 × 3.1415926535     		Φ = 1.49524777294879
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.14150973} λ = -0.14150973}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.49524777294879))-π/2
    2×atan(4.46044159270902)-π/2
    2×1.35025008475017-π/2
    2.70050016950033-1.57079632675     		φ = 1.12970384
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.14150973} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -8.107910°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.12970384 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 64.727262°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 15646 KachelY 8586 -0.14150973 1.12970384 -8.107910 64.727262
    Oben rechts KachelX + 1 15647 KachelY 8586 -0.14131798 1.12970384 -8.096924 64.727262
    Unten links KachelX 15646 KachelY + 1 8587 -0.14150973 1.12962197 -8.107910 64.722571
    Unten rechts KachelX + 1 15647 KachelY + 1 8587 -0.14131798 1.12962197 -8.096924 64.722571
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.12970384-1.12962197) × R
    8.18699999998174e-05 × 6371000     		dl = 521.593769998836m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.12970384-1.12962197) × R
    8.18699999998174e-05 × 6371000     		dr = 521.593769998836m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.14150973--0.14131798) × cos(1.12970384) × R
    0.000191749999999991 × 0.426927639928923 × 6371000     		do = 521.551561847014m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.14150973--0.14131798) × cos(1.12962197) × R
    0.000191749999999991 × 0.427001672375697 × 6371000     		du = 521.642002789766m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.12970384)-sin(1.12962197))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.426927639928923-0.427001672375697)×R²
    abs(-0.14131798--0.14150973)×7.40324467733422e-05×R²
    0.000191749999999991×7.40324467733422e-05×6371000²
    0.000191749999999991×7.40324467733422e-05×40589641000000     		ar = 272061.632260701m²