Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 15645 / 9944
↖ ↑ ↗
← N 57.562996°
W  8.118897°		 ← 655.25 m → N 57.562996°
W  8.107910°		 →
↑
655.32 m
↓
↑
655.32 m
↓
N 57.557102°
W  8.118897°		 ← 655.36 m →
429 436 m²		 N 57.557102°
W  8.107910°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 15645 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 9944 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.477462768554688 y=0.303482055664062 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.477462768554688 × 215)
    floor (0.477462768554688 × 32768)
    floor (15645.5)     		tx = 15645
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.303482055664062 × 215)
    floor (0.303482055664062 × 32768)
    floor (9944.5)     		ty = 9944
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 15645 / 9944 ti = "15/15645/9944"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/15645/9944.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 15645 ÷ 215
    15645 ÷ 32768     		x = 0.477447509765625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 9944 ÷ 215
    9944 ÷ 32768     		y = 0.303466796875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.477447509765625 × 2 - 1) × π
    -0.04510498046875 × 3.1415926535     		Λ = -0.14170148
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.303466796875 × 2 - 1) × π
    0.39306640625 × 3.1415926535     		Φ = 1.23485453421265
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.14170148} λ = -0.14170148}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.23485453421265))-π/2
    2×atan(3.43787839064318)-π/2
    2×1.28773006242641-π/2
    2.57546012485282-1.57079632675     		φ = 1.00466380
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.14170148} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -8.118897°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.00466380 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 57.562996°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 15645 KachelY 9944 -0.14170148 1.00466380 -8.118897 57.562996
    Oben rechts KachelX + 1 15646 KachelY 9944 -0.14150973 1.00466380 -8.107910 57.562996
    Unten links KachelX 15645 KachelY + 1 9945 -0.14170148 1.00456094 -8.118897 57.557102
    Unten rechts KachelX + 1 15646 KachelY + 1 9945 -0.14150973 1.00456094 -8.107910 57.557102
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.00466380-1.00456094) × R
    0.000102860000000149 × 6371000     		dl = 655.321060000949m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.00466380-1.00456094) × R
    0.000102860000000149 × 6371000     		dr = 655.321060000949m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.14170148--0.14150973) × cos(1.00466380) × R
    0.000191749999999991 × 0.536371991660691 × 6371000     		do = 655.25307761334m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.14170148--0.14150973) × cos(1.00456094) × R
    0.000191749999999991 × 0.53645880077932 × 6371000     		du = 655.359127039915m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.00466380)-sin(1.00456094))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.536371991660691-0.53645880077932)×R²
    abs(-0.14150973--0.14170148)×8.68091186287945e-05×R²
    0.000191749999999991×8.68091186287945e-05×6371000²
    0.000191749999999991×8.68091186287945e-05×40589641000000     		ar = 429435.889980796m²