Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 15645 / 8571
↖ ↑ ↗
← N 64.797526°
W  8.118897°		 ← 520.20 m → N 64.797526°
W  8.107910°		 →
↑
520.19 m
↓
↑
520.19 m
↓
N 64.792848°
W  8.118897°		 ← 520.29 m →
270 626 m²		 N 64.792848°
W  8.107910°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 15645 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 8571 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.477462768554688 y=0.261581420898438 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.477462768554688 × 215)
    floor (0.477462768554688 × 32768)
    floor (15645.5)     		tx = 15645
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.261581420898438 × 215)
    floor (0.261581420898438 × 32768)
    floor (8571.5)     		ty = 8571
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 15645 / 8571 ti = "15/15645/8571"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/15645/8571.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 15645 ÷ 215
    15645 ÷ 32768     		x = 0.477447509765625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 8571 ÷ 215
    8571 ÷ 32768     		y = 0.261566162109375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.477447509765625 × 2 - 1) × π
    -0.04510498046875 × 3.1415926535     		Λ = -0.14170148
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.261566162109375 × 2 - 1) × π
    0.47686767578125 × 3.1415926535     		Φ = 1.49812398692599
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.14170148} λ = -0.14170148}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.49812398692599))-π/2
    2×atan(4.47328924460348)-π/2
    2×1.35086325446709-π/2
    2.70172650893417-1.57079632675     		φ = 1.13093018
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.14170148} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -8.118897°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.13093018 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 64.797526°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 15645 KachelY 8571 -0.14170148 1.13093018 -8.118897 64.797526
    Oben rechts KachelX + 1 15646 KachelY 8571 -0.14150973 1.13093018 -8.107910 64.797526
    Unten links KachelX 15645 KachelY + 1 8572 -0.14170148 1.13084853 -8.118897 64.792848
    Unten rechts KachelX + 1 15646 KachelY + 1 8572 -0.14150973 1.13084853 -8.107910 64.792848
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.13093018-1.13084853) × R
    8.16500000000442e-05 × 6371000     		dl = 520.192150000282m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.13093018-1.13084853) × R
    8.16500000000442e-05 × 6371000     		dr = 520.192150000282m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.14170148--0.14150973) × cos(1.13093018) × R
    0.000191749999999991 × 0.425818357340706 × 6371000     		do = 520.196418697906m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.14170148--0.14150973) × cos(1.13084853) × R
    0.000191749999999991 × 0.425892233548999 × 6371000     		du = 520.286668773598m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.13093018)-sin(1.13084853))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.425818357340706-0.425892233548999)×R²
    abs(-0.14150973--0.14170148)×7.38762082927447e-05×R²
    0.000191749999999991×7.38762082927447e-05×6371000²
    0.000191749999999991×7.38762082927447e-05×40589641000000     		ar = 270625.567305338m²