Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 15645 / 6363
↖ ↑ ↗
← N 73.343611°
W  8.118897°		 ← 350.16 m → N 73.343611°
W  8.107910°		 →
↑
350.21 m
↓
↑
350.21 m
↓
N 73.340461°
W  8.118897°		 ← 350.22 m →
122 642 m²		 N 73.340461°
W  8.107910°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 15645 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 6363 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.477462768554688 y=0.194198608398438 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.477462768554688 × 215)
    floor (0.477462768554688 × 32768)
    floor (15645.5)     		tx = 15645
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.194198608398438 × 215)
    floor (0.194198608398438 × 32768)
    floor (6363.5)     		ty = 6363
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 15645 / 6363 ti = "15/15645/6363"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/15645/6363.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 15645 ÷ 215
    15645 ÷ 32768     		x = 0.477447509765625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 6363 ÷ 215
    6363 ÷ 32768     		y = 0.194183349609375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.477447509765625 × 2 - 1) × π
    -0.04510498046875 × 3.1415926535     		Λ = -0.14170148
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.194183349609375 × 2 - 1) × π
    0.61163330078125 × 3.1415926535     		Φ = 1.92150268437033
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.14170148} λ = -0.14170148}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.92150268437033))-π/2
    2×atan(6.83121592189992)-π/2
    2×1.42544190733953-π/2
    2.85088381467906-1.57079632675     		φ = 1.28008749
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.14170148} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -8.118897°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.28008749 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 73.343611°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 15645 KachelY 6363 -0.14170148 1.28008749 -8.118897 73.343611
    Oben rechts KachelX + 1 15646 KachelY 6363 -0.14150973 1.28008749 -8.107910 73.343611
    Unten links KachelX 15645 KachelY + 1 6364 -0.14170148 1.28003252 -8.118897 73.340461
    Unten rechts KachelX + 1 15646 KachelY + 1 6364 -0.14150973 1.28003252 -8.107910 73.340461
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.28008749-1.28003252) × R
    5.49700000000986e-05 × 6371000     		dl = 350.213870000628m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.28008749-1.28003252) × R
    5.49700000000986e-05 × 6371000     		dr = 350.213870000628m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.14170148--0.14150973) × cos(1.28008749) × R
    0.000191749999999991 × 0.286631391727115 × 6371000     		do = 350.160158415952m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.14170148--0.14150973) × cos(1.28003252) × R
    0.000191749999999991 × 0.286684054804576 × 6371000     		du = 350.224493698404m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.28008749)-sin(1.28003252))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.286631391727115-0.286684054804576)×R²
    abs(-0.14150973--0.14170148)×5.26630774616565e-05×R²
    0.000191749999999991×5.26630774616565e-05×6371000²
    0.000191749999999991×5.26630774616565e-05×40589641000000     		ar = 122642.209783736m²