Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 15645 / 19781
↖ ↑ ↗
← S 34.930979°
W  8.118897°		 ← 1 001.55 m → S 34.930979°
W  8.107910°		 →
↑
1 001.46 m
↓
↑
1 001.46 m
↓
S 34.939985°
W  8.118897°		 ← 1 001.44 m →
1 002 956 m²		 S 34.939985°
W  8.107910°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 15645 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 19781 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.477462768554688 y=0.603683471679688 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.477462768554688 × 215)
    floor (0.477462768554688 × 32768)
    floor (15645.5)     		tx = 15645
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.603683471679688 × 215)
    floor (0.603683471679688 × 32768)
    floor (19781.5)     		ty = 19781
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 15645 / 19781 ti = "15/15645/19781"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/15645/19781.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 15645 ÷ 215
    15645 ÷ 32768     		x = 0.477447509765625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 19781 ÷ 215
    19781 ÷ 32768     		y = 0.603668212890625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.477447509765625 × 2 - 1) × π
    -0.04510498046875 × 3.1415926535     		Λ = -0.14170148
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.603668212890625 × 2 - 1) × π
    -0.20733642578125 × 3.1415926535     		Φ = -0.651366592037323
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.14170148} λ = -0.14170148}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.651366592037323))-π/2
    2×atan(0.521332840416897)-π/2
    2×0.4805678697502-π/2
    0.9611357395004-1.57079632675     		φ = -0.60966059
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.14170148} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -8.118897°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.60966059 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -34.930979°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 15645 KachelY 19781 -0.14170148 -0.60966059 -8.118897 -34.930979
    Oben rechts KachelX + 1 15646 KachelY 19781 -0.14150973 -0.60966059 -8.107910 -34.930979
    Unten links KachelX 15645 KachelY + 1 19782 -0.14170148 -0.60981778 -8.118897 -34.939985
    Unten rechts KachelX + 1 15646 KachelY + 1 19782 -0.14150973 -0.60981778 -8.107910 -34.939985
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.60966059--0.60981778) × R
    0.000157190000000029 × 6371000     		dl = 1001.45749000019m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.60966059--0.60981778) × R
    0.000157190000000029 × 6371000     		dr = 1001.45749000019m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.14170148--0.14150973) × cos(-0.60966059) × R
    0.000191749999999991 × 0.819842407575003 × 6371000     		do = 1001.55166390807m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.14170148--0.14150973) × cos(-0.60981778) × R
    0.000191749999999991 × 0.819752392145632 × 6371000     		du = 1001.44169752645m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.60966059)-sin(-0.60981778))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.819842407575003-0.819752392145632)×R²
    abs(-0.14150973--0.14170148)×9.00154293704825e-05×R²
    0.000191749999999991×9.00154293704825e-05×6371000²
    0.000191749999999991×9.00154293704825e-05×40589641000000     		ar = 1002956.35417961m²