Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 15644 / 8572
↖ ↑ ↗
← N 64.792848°
W  8.129883°		 ← 520.26 m → N 64.792848°
W  8.118897°		 →
↑
520.38 m
↓
↑
520.38 m
↓
N 64.788168°
W  8.129883°		 ← 520.35 m →
270 758 m²		 N 64.788168°
W  8.118897°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 15644 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 8572 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.477432250976562 y=0.261611938476562 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.477432250976562 × 215)
    floor (0.477432250976562 × 32768)
    floor (15644.5)     		tx = 15644
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.261611938476562 × 215)
    floor (0.261611938476562 × 32768)
    floor (8572.5)     		ty = 8572
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 15644 / 8572 ti = "15/15644/8572"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/15644/8572.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 15644 ÷ 215
    15644 ÷ 32768     		x = 0.4774169921875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 8572 ÷ 215
    8572 ÷ 32768     		y = 0.2615966796875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4774169921875 × 2 - 1) × π
    -0.045166015625 × 3.1415926535     		Λ = -0.14189322
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.2615966796875 × 2 - 1) × π
    0.476806640625 × 3.1415926535     		Φ = 1.49793223932751
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.14189322} λ = -0.14189322}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.49793223932751))-π/2
    2×atan(4.47243158436329)-π/2
    2×1.35082242610196-π/2
    2.70164485220392-1.57079632675     		φ = 1.13084853
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.14189322} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -8.129883°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.13084853 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 64.792848°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 15644 KachelY 8572 -0.14189322 1.13084853 -8.129883 64.792848
    Oben rechts KachelX + 1 15645 KachelY 8572 -0.14170148 1.13084853 -8.118897 64.792848
    Unten links KachelX 15644 KachelY + 1 8573 -0.14189322 1.13076685 -8.129883 64.788168
    Unten rechts KachelX + 1 15645 KachelY + 1 8573 -0.14170148 1.13076685 -8.118897 64.788168
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.13084853-1.13076685) × R
    8.16799999998619e-05 × 6371000     		dl = 520.38327999912m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.13084853-1.13076685) × R
    8.16799999998619e-05 × 6371000     		dr = 520.38327999912m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.14189322--0.14170148) × cos(1.13084853) × R
    0.000191739999999996 × 0.425892233548999 × 6371000     		do = 520.259535179413m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.14189322--0.14170148) × cos(1.13076685) × R
    0.000191739999999996 × 0.425966134060159 × 6371000     		du = 520.34981023624m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.13084853)-sin(1.13076685))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.425892233548999-0.425966134060159)×R²
    abs(-0.14170148--0.14189322)×7.39005111606295e-05×R²
    0.000191739999999996×7.39005111606295e-05×6371000²
    0.000191739999999996×7.39005111606295e-05×40589641000000     		ar = 270757.852333182m²