Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 15644 / 19044
↖ ↑ ↗
← S 28.033198°
W  8.129883°		 ← 1 078.25 m → S 28.033198°
W  8.118897°		 →
↑
1 078.29 m
↓
↑
1 078.29 m
↓
S 28.042895°
W  8.129883°		 ← 1 078.16 m →
1 162 621 m²		 S 28.042895°
W  8.118897°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 15644 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 19044 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.477432250976562 y=0.581192016601562 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.477432250976562 × 215)
    floor (0.477432250976562 × 32768)
    floor (15644.5)     		tx = 15644
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.581192016601562 × 215)
    floor (0.581192016601562 × 32768)
    floor (19044.5)     		ty = 19044
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 15644 / 19044 ti = "15/15644/19044"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/15644/19044.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 15644 ÷ 215
    15644 ÷ 32768     		x = 0.4774169921875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 19044 ÷ 215
    19044 ÷ 32768     		y = 0.5811767578125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4774169921875 × 2 - 1) × π
    -0.045166015625 × 3.1415926535     		Λ = -0.14189322
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.5811767578125 × 2 - 1) × π
    -0.162353515625 × 3.1415926535     		Φ = -0.510048611957397
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.14189322} λ = -0.14189322}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.510048611957397))-π/2
    2×atan(0.600466388256282)-π/2
    2×0.540762362251412-π/2
    1.08152472450282-1.57079632675     		φ = -0.48927160
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.14189322} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -8.129883°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.48927160 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -28.033198°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 15644 KachelY 19044 -0.14189322 -0.48927160 -8.129883 -28.033198
    Oben rechts KachelX + 1 15645 KachelY 19044 -0.14170148 -0.48927160 -8.118897 -28.033198
    Unten links KachelX 15644 KachelY + 1 19045 -0.14189322 -0.48944085 -8.129883 -28.042895
    Unten rechts KachelX + 1 15645 KachelY + 1 19045 -0.14170148 -0.48944085 -8.118897 -28.042895
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.48927160--0.48944085) × R
    0.00016925000000001 × 6371000     		dl = 1078.29175000006m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.48927160--0.48944085) × R
    0.00016925000000001 × 6371000     		dr = 1078.29175000006m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.14189322--0.14170148) × cos(-0.48927160) × R
    0.000191739999999996 × 0.882675428408608 × 6371000     		do = 1078.25471310295m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.14189322--0.14170148) × cos(-0.48944085) × R
    0.000191739999999996 × 0.882595871131663 × 6371000     		du = 1078.15752787941m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.48927160)-sin(-0.48944085))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.882675428408608-0.882595871131663)×R²
    abs(-0.14170148--0.14189322)×7.95572769444197e-05×R²
    0.000191739999999996×7.95572769444197e-05×6371000²
    0.000191739999999996×7.95572769444197e-05×40589641000000     		ar = 1162620.7673006m²