Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 15643 / 9763
↖ ↑ ↗
← N 58.614056°
W  8.140869°		 ← 636.23 m → N 58.614056°
W  8.129883°		 →
↑
636.27 m
↓
↑
636.27 m
↓
N 58.608334°
W  8.140869°		 ← 636.33 m →
404 848 m²		 N 58.608334°
W  8.129883°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 15643 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 9763 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.477401733398438 y=0.297958374023438 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.477401733398438 × 215)
    floor (0.477401733398438 × 32768)
    floor (15643.5)     		tx = 15643
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.297958374023438 × 215)
    floor (0.297958374023438 × 32768)
    floor (9763.5)     		ty = 9763
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 15643 / 9763 ti = "15/15643/9763"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/15643/9763.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 15643 ÷ 215
    15643 ÷ 32768     		x = 0.477386474609375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 9763 ÷ 215
    9763 ÷ 32768     		y = 0.297943115234375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.477386474609375 × 2 - 1) × π
    -0.04522705078125 × 3.1415926535     		Λ = -0.14208497
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.297943115234375 × 2 - 1) × π
    0.40411376953125 × 3.1415926535     		Φ = 1.26956084953757
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.14208497} λ = -0.14208497}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.26956084953757))-π/2
    2×atan(3.55928915561663)-π/2
    2×1.29690229431477-π/2
    2.59380458862955-1.57079632675     		φ = 1.02300826
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.14208497} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -8.140869°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.02300826 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 58.614056°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 15643 KachelY 9763 -0.14208497 1.02300826 -8.140869 58.614056
    Oben rechts KachelX + 1 15644 KachelY 9763 -0.14189322 1.02300826 -8.129883 58.614056
    Unten links KachelX 15643 KachelY + 1 9764 -0.14208497 1.02290839 -8.140869 58.608334
    Unten rechts KachelX + 1 15644 KachelY + 1 9764 -0.14189322 1.02290839 -8.129883 58.608334
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.02300826-1.02290839) × R
    9.98699999998909e-05 × 6371000     		dl = 636.271769999305m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.02300826-1.02290839) × R
    9.98699999998909e-05 × 6371000     		dr = 636.271769999305m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.14208497--0.14189322) × cos(1.02300826) × R
    0.000191750000000018 × 0.520800224507928 × 6371000     		do = 636.229995667757m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.14208497--0.14189322) × cos(1.02290839) × R
    0.000191750000000018 × 0.520885478790815 × 6371000     		du = 636.334145645963m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.02300826)-sin(1.02290839))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.520800224507928-0.520885478790815)×R²
    abs(-0.14189322--0.14208497)×8.52542828874148e-05×R²
    0.000191750000000018×8.52542828874148e-05×6371000²
    0.000191750000000018×8.52542828874148e-05×40589641000000     		ar = 404848.319652703m²