Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
15 / 15642 / 19755
↖ ↑ ↗
← S 34.696461°
W  8.151856°		 ← 1 004.41 m → S 34.696461°
W  8.140869°		 →
↑
1 004.32 m
↓
↑
1 004.32 m
↓
S 34.705493°
W  8.151856°		 ← 1 004.30 m →
1 008 695 m²		 S 34.705493°
W  8.140869°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 15642 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 19755 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.477371215820312 y=0.602890014648438 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.477371215820312 × 215)
    floor (0.477371215820312 × 32768)
    floor (15642.5)     		tx = 15642
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.602890014648438 × 215)
    floor (0.602890014648438 × 32768)
    floor (19755.5)     		ty = 19755
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 15642 / 19755 ti = "15/15642/19755"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/15642/19755.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 15642 ÷ 215
    15642 ÷ 32768     		x = 0.47735595703125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 19755 ÷ 215
    19755 ÷ 32768     		y = 0.602874755859375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.47735595703125 × 2 - 1) × π
    -0.0452880859375 × 3.1415926535     		Λ = -0.14227672
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.602874755859375 × 2 - 1) × π
    -0.20574951171875 × 3.1415926535     		Φ = -0.646381154476837
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.14227672} λ = -0.14227672}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.646381154476837))-π/2
    2×atan(0.52393840227733)-π/2
    2×0.482614420277844-π/2
    0.965228840555689-1.57079632675     		φ = -0.60556749
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.14227672} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -8.151856°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.60556749 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -34.696461°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 15642 KachelY 19755 -0.14227672 -0.60556749 -8.151856 -34.696461
    Oben rechts KachelX + 1 15643 KachelY 19755 -0.14208497 -0.60556749 -8.140869 -34.696461
    Unten links KachelX 15642 KachelY + 1 19756 -0.14227672 -0.60572513 -8.151856 -34.705493
    Unten rechts KachelX + 1 15643 KachelY + 1 19756 -0.14208497 -0.60572513 -8.140869 -34.705493
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.60556749--0.60572513) × R
    0.000157639999999959 × 6371000     		dl = 1004.32443999974m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.60556749--0.60572513) × R
    0.000157639999999959 × 6371000     		dr = 1004.32443999974m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.14227672--0.14208497) × cos(-0.60556749) × R
    0.000191749999999991 × 0.822179198417749 × 6371000     		do = 1004.40637932061m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.14227672--0.14208497) × cos(-0.60572513) × R
    0.000191749999999991 × 0.822089454982815 × 6371000     		du = 1004.29674521807m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.60556749)-sin(-0.60572513))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.822179198417749-0.822089454982815)×R²
    abs(-0.14208497--0.14227672)×8.97434349338422e-05×R²
    0.000191749999999991×8.97434349338422e-05×6371000²
    0.000191749999999991×8.97434349338422e-05×40589641000000     		ar = 1008694.82242808m²