Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 15641 / 8727
↖ ↑ ↗
← N 64.057785°
W  8.162842°		 ← 534.42 m → N 64.057785°
W  8.151856°		 →
↑
534.46 m
↓
↑
534.46 m
↓
N 64.052978°
W  8.162842°		 ← 534.52 m →
285 654 m²		 N 64.052978°
W  8.151856°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 15641 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 8727 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.477340698242188 y=0.266342163085938 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.477340698242188 × 215)
    floor (0.477340698242188 × 32768)
    floor (15641.5)     		tx = 15641
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.266342163085938 × 215)
    floor (0.266342163085938 × 32768)
    floor (8727.5)     		ty = 8727
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 15641 / 8727 ti = "15/15641/8727"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/15641/8727.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 15641 ÷ 215
    15641 ÷ 32768     		x = 0.477325439453125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 8727 ÷ 215
    8727 ÷ 32768     		y = 0.266326904296875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.477325439453125 × 2 - 1) × π
    -0.04534912109375 × 3.1415926535     		Λ = -0.14246847
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.266326904296875 × 2 - 1) × π
    0.46734619140625 × 3.1415926535     		Φ = 1.46821136156308
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.14246847} λ = -0.14246847}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.46821136156308))-π/2
    2×atan(4.34146288486842)-π/2
    2×1.34440779260993-π/2
    2.68881558521986-1.57079632675     		φ = 1.11801926
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.14246847} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -8.162842°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.11801926 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 64.057785°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 15641 KachelY 8727 -0.14246847 1.11801926 -8.162842 64.057785
    Oben rechts KachelX + 1 15642 KachelY 8727 -0.14227672 1.11801926 -8.151856 64.057785
    Unten links KachelX 15641 KachelY + 1 8728 -0.14246847 1.11793537 -8.162842 64.052978
    Unten rechts KachelX + 1 15642 KachelY + 1 8728 -0.14227672 1.11793537 -8.151856 64.052978
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.11801926-1.11793537) × R
    8.38899999999754e-05 × 6371000     		dl = 534.463189999843m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.11801926-1.11793537) × R
    8.38899999999754e-05 × 6371000     		dr = 534.463189999843m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.14246847--0.14227672) × cos(1.11801926) × R
    0.000191750000000018 × 0.437464455397821 × 6371000     		do = 534.423749193904m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.14246847--0.14227672) × cos(1.11793537) × R
    0.000191750000000018 × 0.437539890741556 × 6371000     		du = 534.515903970647m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.11801926)-sin(1.11793537))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.437464455397821-0.437539890741556)×R²
    abs(-0.14227672--0.14246847)×7.54353437343869e-05×R²
    0.000191750000000018×7.54353437343869e-05×6371000²
    0.000191750000000018×7.54353437343869e-05×40589641000000     		ar = 285654.448642099m²