Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 15641 / 19780
↖ ↑ ↗
← S 34.921971°
W  8.162842°		 ← 1 001.66 m → S 34.921971°
W  8.151856°		 →
↑
1 001.58 m
↓
↑
1 001.58 m
↓
S 34.930979°
W  8.162842°		 ← 1 001.55 m →
1 003 194 m²		 S 34.930979°
W  8.151856°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 15641 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 19780 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.477340698242188 y=0.603652954101562 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.477340698242188 × 215)
    floor (0.477340698242188 × 32768)
    floor (15641.5)     		tx = 15641
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.603652954101562 × 215)
    floor (0.603652954101562 × 32768)
    floor (19780.5)     		ty = 19780
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 15641 / 19780 ti = "15/15641/19780"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/15641/19780.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 15641 ÷ 215
    15641 ÷ 32768     		x = 0.477325439453125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 19780 ÷ 215
    19780 ÷ 32768     		y = 0.6036376953125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.477325439453125 × 2 - 1) × π
    -0.04534912109375 × 3.1415926535     		Λ = -0.14246847
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.6036376953125 × 2 - 1) × π
    -0.207275390625 × 3.1415926535     		Φ = -0.651174844438843
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.14246847} λ = -0.14246847}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.651174844438843))-π/2
    2×atan(0.521432814321627)-π/2
    2×0.480646475471502-π/2
    0.961292950943004-1.57079632675     		φ = -0.60950338
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.14246847} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -8.162842°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.60950338 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -34.921971°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 15641 KachelY 19780 -0.14246847 -0.60950338 -8.162842 -34.921971
    Oben rechts KachelX + 1 15642 KachelY 19780 -0.14227672 -0.60950338 -8.151856 -34.921971
    Unten links KachelX 15641 KachelY + 1 19781 -0.14246847 -0.60966059 -8.162842 -34.930979
    Unten rechts KachelX + 1 15642 KachelY + 1 19781 -0.14227672 -0.60966059 -8.151856 -34.930979
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.60950338--0.60966059) × R
    0.000157209999999908 × 6371000     		dl = 1001.58490999941m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.60950338--0.60966059) × R
    0.000157209999999908 × 6371000     		dr = 1001.58490999941m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.14246847--0.14227672) × cos(-0.60950338) × R
    0.000191750000000018 × 0.819932414196343 × 6371000     		do = 1001.66161952961m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.14246847--0.14227672) × cos(-0.60966059) × R
    0.000191750000000018 × 0.819842407575003 × 6371000     		du = 1001.55166390822m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.60950338)-sin(-0.60966059))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.819932414196343-0.819842407575003)×R²
    abs(-0.14227672--0.14246847)×9.00066213403994e-05×R²
    0.000191750000000018×9.00066213403994e-05×6371000²
    0.000191750000000018×9.00066213403994e-05×40589641000000     		ar = 1003194.10016725m²