Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 15641 / 19745
↖ ↑ ↗
← S 34.606085°
W  8.162842°		 ← 1 005.50 m → S 34.606085°
W  8.151856°		 →
↑
1 005.41 m
↓
↑
1 005.41 m
↓
S 34.615127°
W  8.162842°		 ← 1 005.39 m →
1 010 884 m²		 S 34.615127°
W  8.151856°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 15641 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 19745 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.477340698242188 y=0.602584838867188 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.477340698242188 × 215)
    floor (0.477340698242188 × 32768)
    floor (15641.5)     		tx = 15641
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.602584838867188 × 215)
    floor (0.602584838867188 × 32768)
    floor (19745.5)     		ty = 19745
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 15641 / 19745 ti = "15/15641/19745"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/15641/19745.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 15641 ÷ 215
    15641 ÷ 32768     		x = 0.477325439453125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 19745 ÷ 215
    19745 ÷ 32768     		y = 0.602569580078125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.477325439453125 × 2 - 1) × π
    -0.04534912109375 × 3.1415926535     		Λ = -0.14246847
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.602569580078125 × 2 - 1) × π
    -0.20513916015625 × 3.1415926535     		Φ = -0.644463678492035
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.14246847} λ = -0.14246847}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.644463678492035))-π/2
    2×atan(0.524944005383006)-π/2
    2×0.483403104726512-π/2
    0.966806209453024-1.57079632675     		φ = -0.60399012
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.14246847} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -8.162842°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.60399012 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -34.606085°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 15641 KachelY 19745 -0.14246847 -0.60399012 -8.162842 -34.606085
    Oben rechts KachelX + 1 15642 KachelY 19745 -0.14227672 -0.60399012 -8.151856 -34.606085
    Unten links KachelX 15641 KachelY + 1 19746 -0.14246847 -0.60414793 -8.162842 -34.615127
    Unten rechts KachelX + 1 15642 KachelY + 1 19746 -0.14227672 -0.60414793 -8.151856 -34.615127
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.60399012--0.60414793) × R
    0.000157810000000036 × 6371000     		dl = 1005.40751000023m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.60399012--0.60414793) × R
    0.000157810000000036 × 6371000     		dr = 1005.40751000023m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.14246847--0.14227672) × cos(-0.60399012) × R
    0.000191750000000018 × 0.823076059562843 × 6371000     		do = 1005.5020200974m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.14246847--0.14227672) × cos(-0.60414793) × R
    0.000191750000000018 × 0.822986424098237 × 6371000     		du = 1005.39251789565m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.60399012)-sin(-0.60414793))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.823076059562843-0.822986424098237)×R²
    abs(-0.14227672--0.14246847)×8.96354646061637e-05×R²
    0.000191750000000018×8.96354646061637e-05×6371000²
    0.000191750000000018×8.96354646061637e-05×40589641000000     		ar = 1010884.23725671m²