Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 15641 / 17161
↖ ↑ ↗
← N 78.762976°
W137.040711°		 ← 59.52 m → N 78.762976°
W137.037964°		 →
↑
59.57 m
↓
↑
59.57 m
↓
N 78.762440°
W137.040711°		 ← 59.52 m →
3 545 m²		 N 78.762440°
W137.037964°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 15641 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 17161 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.119335174560547 y=0.130931854248047 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.119335174560547 × 217)
    floor (0.119335174560547 × 131072)
    floor (15641.5)     		tx = 15641
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.130931854248047 × 217)
    floor (0.130931854248047 × 131072)
    floor (17161.5)     		ty = 17161
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 15641 / 17161 ti = "17/15641/17161"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/15641/17161.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 15641 ÷ 217
    15641 ÷ 131072     		x = 0.119331359863281
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 17161 ÷ 217
    17161 ÷ 131072     		y = 0.130928039550781
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.119331359863281 × 2 - 1) × π
    -0.761337280273438 × 3.1415926535     		Λ = -2.39181161
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.130928039550781 × 2 - 1) × π
    0.738143920898438 × 3.1415926535     		Φ = 2.31894751912022
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.39181161} λ = -2.39181161}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.31894751912022))-π/2
    2×atan(10.1649702373292)-π/2
    2×1.47273479143594-π/2
    2.94546958287187-1.57079632675     		φ = 1.37467326
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.39181161} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -137.040711°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.37467326 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.762976°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 15641 KachelY 17161 -2.39181161 1.37467326 -137.040711 78.762976
    Oben rechts KachelX + 1 15642 KachelY 17161 -2.39176367 1.37467326 -137.037964 78.762976
    Unten links KachelX 15641 KachelY + 1 17162 -2.39181161 1.37466391 -137.040711 78.762440
    Unten rechts KachelX + 1 15642 KachelY + 1 17162 -2.39176367 1.37466391 -137.037964 78.762440
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.37467326-1.37466391) × R
    9.35000000001907e-06 × 6371000     		dl = 59.5688500001215m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.37467326-1.37466391) × R
    9.35000000001907e-06 × 6371000     		dr = 59.5688500001215m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.39181161--2.39176367) × cos(1.37467326) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.194868194595874 × 6371000     		do = 59.5177625368699m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.39181161--2.39176367) × cos(1.37466391) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.194877365342603 × 6371000     		du = 59.5205635189758m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.37467326)-sin(1.37466391))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.194868194595874-0.194877365342603)×R²
    abs(-2.39176367--2.39181161)×9.17074672862617e-06×R²
    4.79399999999686e-05×9.17074672862617e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×9.17074672862617e-06×40589641000000     		ar = 3545.48809452466m²