Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 15640 / 9946
↖ ↑ ↗
← N 57.551208°
W  8.173828°		 ← 655.43 m → N 57.551208°
W  8.162842°		 →
↑
655.51 m
↓
↑
655.51 m
↓
N 57.545313°
W  8.173828°		 ← 655.54 m →
429 678 m²		 N 57.545313°
W  8.162842°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 15640 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 9946 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.477310180664062 y=0.303543090820312 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.477310180664062 × 215)
    floor (0.477310180664062 × 32768)
    floor (15640.5)     		tx = 15640
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.303543090820312 × 215)
    floor (0.303543090820312 × 32768)
    floor (9946.5)     		ty = 9946
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 15640 / 9946 ti = "15/15640/9946"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/15640/9946.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 15640 ÷ 215
    15640 ÷ 32768     		x = 0.477294921875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 9946 ÷ 215
    9946 ÷ 32768     		y = 0.30352783203125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.477294921875 × 2 - 1) × π
    -0.04541015625 × 3.1415926535     		Λ = -0.14266021
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.30352783203125 × 2 - 1) × π
    0.3929443359375 × 3.1415926535     		Φ = 1.23447103901569
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.14266021} λ = -0.14266021}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.23447103901569))-π/2
    2×atan(3.43656023356224)-π/2
    2×1.28762719773968-π/2
    2.57525439547936-1.57079632675     		φ = 1.00445807
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.14266021} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -8.173828°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.00445807 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 57.551208°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 15640 KachelY 9946 -0.14266021 1.00445807 -8.173828 57.551208
    Oben rechts KachelX + 1 15641 KachelY 9946 -0.14246847 1.00445807 -8.162842 57.551208
    Unten links KachelX 15640 KachelY + 1 9947 -0.14266021 1.00435518 -8.173828 57.545313
    Unten rechts KachelX + 1 15641 KachelY + 1 9947 -0.14246847 1.00435518 -8.162842 57.545313
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.00445807-1.00435518) × R
    0.000102890000000189 × 6371000     		dl = 655.512190001202m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.00445807-1.00435518) × R
    0.000102890000000189 × 6371000     		dr = 655.512190001202m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.14266021--0.14246847) × cos(1.00445807) × R
    0.000191739999999996 × 0.536545612660831 × 6371000     		do = 655.430996520771m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.14266021--0.14246847) × cos(1.00435518) × R
    0.000191739999999996 × 0.536632435740812 × 6371000     		du = 655.537057471583m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.00445807)-sin(1.00435518))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.536545612660831-0.536632435740812)×R²
    abs(-0.14246847--0.14266021)×8.6823079981091e-05×R²
    0.000191739999999996×8.6823079981091e-05×6371000²
    0.000191739999999996×8.6823079981091e-05×40589641000000     		ar = 429677.770425983m²