Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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11 / 1564 / 1561
↖ ↑ ↗
← S 68.204212°
E 94.921875°		 ← 7 257.41 m → S 68.204212°
E 95.097656°		 →
↑
7 247.08 m
↓
↑
7 247.08 m
↓
S 68.269387°
E 94.921875°		 ← 7 236.76 m →
52 520 197 m²		 S 68.269387°
E 95.097656°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 11 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 1564 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1561 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.763916015625 y=0.762451171875 und der Vergrößerungsstufe zoom=11 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.763916015625 × 211)
    floor (0.763916015625 × 2048)
    floor (1564.5)     		tx = 1564
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.762451171875 × 211)
    floor (0.762451171875 × 2048)
    floor (1561.5)     		ty = 1561
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 11 / 1564 / 1561 ti = "11/1564/1561"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/11/1564/1561.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 1564 ÷ 211
    1564 ÷ 2048     		x = 0.763671875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1561 ÷ 211
    1561 ÷ 2048     		y = 0.76220703125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.763671875 × 2 - 1) × π
    0.52734375 × 3.1415926535     		Λ = 1.65669925
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.76220703125 × 2 - 1) × π
    -0.5244140625 × 3.1415926535     		Φ = -1.64749536614209
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.65669925} λ = 1.65669925}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.64749536614209))-π/2
    2×atan(0.192531526210382)-π/2
    2×0.190204130194325-π/2
    0.380408260388649-1.57079632675     		φ = -1.19038807
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.65669925} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 94.921875°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.19038807 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -68.204212°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 1564 KachelY 1561 1.65669925 -1.19038807 94.921875 -68.204212
    Oben rechts KachelX + 1 1565 KachelY 1561 1.65976721 -1.19038807 95.097656 -68.204212
    Unten links KachelX 1564 KachelY + 1 1562 1.65669925 -1.19152558 94.921875 -68.269387
    Unten rechts KachelX + 1 1565 KachelY + 1 1562 1.65976721 -1.19152558 95.097656 -68.269387
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.19038807--1.19152558) × R
    0.00113750999999995 × 6371000     		dl = 7247.0762099997m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.19038807--1.19152558) × R
    0.00113750999999995 × 6371000     		dr = 7247.0762099997m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.65669925-1.65976721) × cos(-1.19038807) × R
    0.00306796000000009 × 0.371299572138779 × 6371000     		do = 7257.41147134427m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.65669925-1.65976721) × cos(-1.19152558) × R
    0.00306796000000009 × 0.370243139181402 × 6371000     		du = 7236.76246111404m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.19038807)-sin(-1.19152558))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.371299572138779-0.370243139181402)×R²
    abs(1.65976721-1.65669925)×0.00105643295737673×R²
    0.00306796000000009×0.00105643295737673×6371000²
    0.00306796000000009×0.00105643295737673×40589641000000     		ar = 52520197.207873m²