Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
11 / 1564 / 1516
↖ ↑ ↗
← S 65.072130°
E 94.921875°		 ← 8 238.18 m → S 65.072130°
E 95.097656°		 →
↑
8 226.74 m
↓
↑
8 226.74 m
↓
S 65.146115°
E 94.921875°		 ← 8 215.28 m →
67 679 219 m²		 S 65.146115°
E 95.097656°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 11 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 1564 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1516 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.763916015625 y=0.740478515625 und der Vergrößerungsstufe zoom=11 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.763916015625 × 211)
    floor (0.763916015625 × 2048)
    floor (1564.5)     		tx = 1564
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.740478515625 × 211)
    floor (0.740478515625 × 2048)
    floor (1516.5)     		ty = 1516
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 11 / 1564 / 1516 ti = "11/1564/1516"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/11/1564/1516.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 1564 ÷ 211
    1564 ÷ 2048     		x = 0.763671875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1516 ÷ 211
    1516 ÷ 2048     		y = 0.740234375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.763671875 × 2 - 1) × π
    0.52734375 × 3.1415926535     		Λ = 1.65669925
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.740234375 × 2 - 1) × π
    -0.48046875 × 3.1415926535     		Φ = -1.50943709523633
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.65669925} λ = 1.65669925}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.50943709523633))-π/2
    2×atan(0.221034364243846)-π/2
    2×0.21753670276659-π/2
    0.435073405533179-1.57079632675     		φ = -1.13572292
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.65669925} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 94.921875°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.13572292 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -65.072130°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 1564 KachelY 1516 1.65669925 -1.13572292 94.921875 -65.072130
    Oben rechts KachelX + 1 1565 KachelY 1516 1.65976721 -1.13572292 95.097656 -65.072130
    Unten links KachelX 1564 KachelY + 1 1517 1.65669925 -1.13701420 94.921875 -65.146115
    Unten rechts KachelX + 1 1565 KachelY + 1 1517 1.65976721 -1.13701420 95.097656 -65.146115
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.13572292--1.13701420) × R
    0.00129128000000001 × 6371000     		dl = 8226.74488000004m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.13572292--1.13701420) × R
    0.00129128000000001 × 6371000     		dr = 8226.74488000004m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.65669925-1.65976721) × cos(-1.13572292) × R
    0.00306796000000009 × 0.421476970654384 × 6371000     		do = 8238.17755596894m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.65669925-1.65976721) × cos(-1.13701420) × R
    0.00306796000000009 × 0.420305636393538 × 6371000     		du = 8215.28268794506m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.13572292)-sin(-1.13701420))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.421476970654384-0.420305636393538)×R²
    abs(1.65976721-1.65669925)×0.00117133426084581×R²
    0.00306796000000009×0.00117133426084581×6371000²
    0.00306796000000009×0.00117133426084581×40589641000000     		ar = 67679219.3140097m²