Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 15639 / 8522
↖ ↑ ↗
← N 65.025785°
W  8.184814°		 ← 515.79 m → N 65.025785°
W  8.173828°		 →
↑
515.86 m
↓
↑
515.86 m
↓
N 65.021146°
W  8.184814°		 ← 515.88 m →
266 098 m²		 N 65.021146°
W  8.173828°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 15639 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 8522 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.477279663085938 y=0.260086059570312 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.477279663085938 × 215)
    floor (0.477279663085938 × 32768)
    floor (15639.5)     		tx = 15639
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.260086059570312 × 215)
    floor (0.260086059570312 × 32768)
    floor (8522.5)     		ty = 8522
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 15639 / 8522 ti = "15/15639/8522"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/15639/8522.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 15639 ÷ 215
    15639 ÷ 32768     		x = 0.477264404296875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 8522 ÷ 215
    8522 ÷ 32768     		y = 0.26007080078125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.477264404296875 × 2 - 1) × π
    -0.04547119140625 × 3.1415926535     		Λ = -0.14285196
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.26007080078125 × 2 - 1) × π
    0.4798583984375 × 3.1415926535     		Φ = 1.50751961925153
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.14285196} λ = -0.14285196}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.50751961925153))-π/2
    2×atan(4.51551669176991)-π/2
    2×1.3528551865642-π/2
    2.7057103731284-1.57079632675     		φ = 1.13491405
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.14285196} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -8.184814°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.13491405 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 65.025785°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 15639 KachelY 8522 -0.14285196 1.13491405 -8.184814 65.025785
    Oben rechts KachelX + 1 15640 KachelY 8522 -0.14266021 1.13491405 -8.173828 65.025785
    Unten links KachelX 15639 KachelY + 1 8523 -0.14285196 1.13483308 -8.184814 65.021146
    Unten rechts KachelX + 1 15640 KachelY + 1 8523 -0.14266021 1.13483308 -8.173828 65.021146
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.13491405-1.13483308) × R
    8.0969999999958e-05 × 6371000     		dl = 515.859869999732m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.13491405-1.13483308) × R
    8.0969999999958e-05 × 6371000     		dr = 515.859869999732m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.14285196--0.14266021) × cos(1.13491405) × R
    0.000191749999999991 × 0.422210347641635 × 6371000     		do = 515.788732435141m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.14285196--0.14266021) × cos(1.13483308) × R
    0.000191749999999991 × 0.422283745391573 × 6371000     		du = 515.878398007327m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.13491405)-sin(1.13483308))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.422210347641635-0.422283745391573)×R²
    abs(-0.14266021--0.14285196)×7.33977499381977e-05×R²
    0.000191749999999991×7.33977499381977e-05×6371000²
    0.000191749999999991×7.33977499381977e-05×40589641000000     		ar = 266097.836042439m²