Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 15639 / 19726
↖ ↑ ↗
← S 34.434098°
W  8.184814°		 ← 1 007.58 m → S 34.434098°
W  8.173828°		 →
↑
1 007.51 m
↓
↑
1 007.51 m
↓
S 34.443158°
W  8.184814°		 ← 1 007.47 m →
1 015 092 m²		 S 34.443158°
W  8.173828°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 15639 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 19726 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.477279663085938 y=0.602005004882812 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.477279663085938 × 215)
    floor (0.477279663085938 × 32768)
    floor (15639.5)     		tx = 15639
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.602005004882812 × 215)
    floor (0.602005004882812 × 32768)
    floor (19726.5)     		ty = 19726
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 15639 / 19726 ti = "15/15639/19726"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/15639/19726.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 15639 ÷ 215
    15639 ÷ 32768     		x = 0.477264404296875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 19726 ÷ 215
    19726 ÷ 32768     		y = 0.60198974609375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.477264404296875 × 2 - 1) × π
    -0.04547119140625 × 3.1415926535     		Λ = -0.14285196
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.60198974609375 × 2 - 1) × π
    -0.2039794921875 × 3.1415926535     		Φ = -0.640820474120911
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.14285196} λ = -0.14285196}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.640820474120911))-π/2
    2×atan(0.526859971687212)-π/2
    2×0.484903971806366-π/2
    0.969807943612732-1.57079632675     		φ = -0.60098838
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.14285196} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -8.184814°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.60098838 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -34.434098°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 15639 KachelY 19726 -0.14285196 -0.60098838 -8.184814 -34.434098
    Oben rechts KachelX + 1 15640 KachelY 19726 -0.14266021 -0.60098838 -8.173828 -34.434098
    Unten links KachelX 15639 KachelY + 1 19727 -0.14285196 -0.60114652 -8.184814 -34.443158
    Unten rechts KachelX + 1 15640 KachelY + 1 19727 -0.14266021 -0.60114652 -8.173828 -34.443158
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.60098838--0.60114652) × R
    0.000158140000000029 × 6371000     		dl = 1007.50994000018m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.60098838--0.60114652) × R
    0.000158140000000029 × 6371000     		dr = 1007.50994000018m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.14285196--0.14266021) × cos(-0.60098838) × R
    0.000191749999999991 × 0.824777130539594 × 6371000     		do = 1007.58011516949m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.14285196--0.14266021) × cos(-0.60114652) × R
    0.000191749999999991 × 0.824687698707791 × 6371000     		du = 1007.47086173356m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.60098838)-sin(-0.60114652))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.824777130539594-0.824687698707791)×R²
    abs(-0.14266021--0.14285196)×8.94318318028775e-05×R²
    0.000191749999999991×8.94318318028775e-05×6371000²
    0.000191749999999991×8.94318318028775e-05×40589641000000     		ar = 1015091.94653408m²