Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 15639 / 19722
↖ ↑ ↗
← S 34.397845°
W  8.184814°		 ← 1 008.02 m → S 34.397845°
W  8.173828°		 →
↑
1 007.96 m
↓
↑
1 007.96 m
↓
S 34.406910°
W  8.184814°		 ← 1 007.91 m →
1 015 982 m²		 S 34.406910°
W  8.173828°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 15639 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 19722 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.477279663085938 y=0.601882934570312 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.477279663085938 × 215)
    floor (0.477279663085938 × 32768)
    floor (15639.5)     		tx = 15639
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.601882934570312 × 215)
    floor (0.601882934570312 × 32768)
    floor (19722.5)     		ty = 19722
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 15639 / 19722 ti = "15/15639/19722"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/15639/19722.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 15639 ÷ 215
    15639 ÷ 32768     		x = 0.477264404296875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 19722 ÷ 215
    19722 ÷ 32768     		y = 0.60186767578125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.477264404296875 × 2 - 1) × π
    -0.04547119140625 × 3.1415926535     		Λ = -0.14285196
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.60186767578125 × 2 - 1) × π
    -0.2037353515625 × 3.1415926535     		Φ = -0.64005348372699
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.14285196} λ = -0.14285196}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.64005348372699))-π/2
    2×atan(0.527264223233146)-π/2
    2×0.485220338451974-π/2
    0.970440676903949-1.57079632675     		φ = -0.60035565
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.14285196} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -8.184814°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.60035565 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -34.397845°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 15639 KachelY 19722 -0.14285196 -0.60035565 -8.184814 -34.397845
    Oben rechts KachelX + 1 15640 KachelY 19722 -0.14266021 -0.60035565 -8.173828 -34.397845
    Unten links KachelX 15639 KachelY + 1 19723 -0.14285196 -0.60051386 -8.184814 -34.406910
    Unten rechts KachelX + 1 15640 KachelY + 1 19723 -0.14266021 -0.60051386 -8.173828 -34.406910
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.60035565--0.60051386) × R
    0.000158209999999936 × 6371000     		dl = 1007.9559099996m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.60035565--0.60051386) × R
    0.000158209999999936 × 6371000     		dr = 1007.9559099996m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.14285196--0.14266021) × cos(-0.60035565) × R
    0.000191749999999991 × 0.825134747621168 × 6371000     		do = 1008.01699423281m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.14285196--0.14266021) × cos(-0.60051386) × R
    0.000191749999999991 × 0.82504535877527 × 6371000     		du = 1007.90779331015m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.60035565)-sin(-0.60051386))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.825134747621168-0.82504535877527)×R²
    abs(-0.14266021--0.14285196)×8.93888458983749e-05×R²
    0.000191749999999991×8.93888458983749e-05×6371000²
    0.000191749999999991×8.93888458983749e-05×40589641000000     		ar = 1015981.6539786m²