Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 15638 / 8668
↖ ↑ ↗
← N 64.339908°
W  8.195801°		 ← 529.01 m → N 64.339908°
W  8.184814°		 →
↑
529.05 m
↓
↑
529.05 m
↓
N 64.335150°
W  8.195801°		 ← 529.10 m →
279 895 m²		 N 64.335150°
W  8.184814°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 15638 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 8668 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.477249145507812 y=0.264541625976562 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.477249145507812 × 215)
    floor (0.477249145507812 × 32768)
    floor (15638.5)     		tx = 15638
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.264541625976562 × 215)
    floor (0.264541625976562 × 32768)
    floor (8668.5)     		ty = 8668
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 15638 / 8668 ti = "15/15638/8668"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/15638/8668.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 15638 ÷ 215
    15638 ÷ 32768     		x = 0.47723388671875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 8668 ÷ 215
    8668 ÷ 32768     		y = 0.2645263671875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.47723388671875 × 2 - 1) × π
    -0.0455322265625 × 3.1415926535     		Λ = -0.14304371
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.2645263671875 × 2 - 1) × π
    0.470947265625 × 3.1415926535     		Φ = 1.47952446987341
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.14304371} λ = -0.14304371}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.47952446987341))-π/2
    2×atan(4.39085719951029)-π/2
    2×1.34686977965991-π/2
    2.69373955931981-1.57079632675     		φ = 1.12294323
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.14304371} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -8.195801°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.12294323 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 64.339908°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 15638 KachelY 8668 -0.14304371 1.12294323 -8.195801 64.339908
    Oben rechts KachelX + 1 15639 KachelY 8668 -0.14285196 1.12294323 -8.184814 64.339908
    Unten links KachelX 15638 KachelY + 1 8669 -0.14304371 1.12286019 -8.195801 64.335150
    Unten rechts KachelX + 1 15639 KachelY + 1 8669 -0.14285196 1.12286019 -8.184814 64.335150
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.12294323-1.12286019) × R
    8.30400000000342e-05 × 6371000     		dl = 529.047840000218m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.12294323-1.12286019) × R
    8.30400000000342e-05 × 6371000     		dr = 529.047840000218m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.14304371--0.14285196) × cos(1.12294323) × R
    0.000191749999999991 × 0.433031360406481 × 6371000     		do = 529.008106353427m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.14304371--0.14285196) × cos(1.12286019) × R
    0.000191749999999991 × 0.43310620941353 × 6371000     		du = 529.099544838261m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.12294323)-sin(1.12286019))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.433031360406481-0.43310620941353)×R²
    abs(-0.14285196--0.14304371)×7.4849007049238e-05×R²
    0.000191749999999991×7.4849007049238e-05×6371000²
    0.000191749999999991×7.4849007049238e-05×40589641000000     		ar = 279894.783835952m²