Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 15638 / 6395
↖ ↑ ↗
← N 73.242545°
W  8.195801°		 ← 352.22 m → N 73.242545°
W  8.184814°		 →
↑
352.25 m
↓
↑
352.25 m
↓
N 73.239377°
W  8.195801°		 ← 352.29 m →
124 083 m²		 N 73.239377°
W  8.184814°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 15638 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 6395 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.477249145507812 y=0.195175170898438 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.477249145507812 × 215)
    floor (0.477249145507812 × 32768)
    floor (15638.5)     		tx = 15638
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.195175170898438 × 215)
    floor (0.195175170898438 × 32768)
    floor (6395.5)     		ty = 6395
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 15638 / 6395 ti = "15/15638/6395"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/15638/6395.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 15638 ÷ 215
    15638 ÷ 32768     		x = 0.47723388671875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 6395 ÷ 215
    6395 ÷ 32768     		y = 0.195159912109375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.47723388671875 × 2 - 1) × π
    -0.0455322265625 × 3.1415926535     		Λ = -0.14304371
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.195159912109375 × 2 - 1) × π
    0.60968017578125 × 3.1415926535     		Φ = 1.91536676121896
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.14304371} λ = -0.14304371}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.91536676121896))-π/2
    2×atan(6.78942843946978)-π/2
    2×1.42455994393649-π/2
    2.84911988787297-1.57079632675     		φ = 1.27832356
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.14304371} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -8.195801°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.27832356 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 73.242545°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 15638 KachelY 6395 -0.14304371 1.27832356 -8.195801 73.242545
    Oben rechts KachelX + 1 15639 KachelY 6395 -0.14285196 1.27832356 -8.184814 73.242545
    Unten links KachelX 15638 KachelY + 1 6396 -0.14304371 1.27826827 -8.195801 73.239377
    Unten rechts KachelX + 1 15639 KachelY + 1 6396 -0.14285196 1.27826827 -8.184814 73.239377
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.27832356-1.27826827) × R
    5.52899999999301e-05 × 6371000     		dl = 352.252589999555m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.27832356-1.27826827) × R
    5.52899999999301e-05 × 6371000     		dr = 352.252589999555m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.14304371--0.14285196) × cos(1.27832356) × R
    0.000191749999999991 × 0.288320862089049 × 6371000     		do = 352.224081721801m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.14304371--0.14285196) × cos(1.27826827) × R
    0.000191749999999991 × 0.288373803695082 × 6371000     		du = 352.28875726569m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.27832356)-sin(1.27826827))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.288320862089049-0.288373803695082)×R²
    abs(-0.14285196--0.14304371)×5.29416060335297e-05×R²
    0.000191749999999991×5.29416060335297e-05×6371000²
    0.000191749999999991×5.29416060335297e-05×40589641000000     		ar = 124083.236142754m²