Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 15637 / 9872
↖ ↑ ↗
← N 57.984808°
W  8.206787°		 ← 647.64 m → N 57.984808°
W  8.195801°		 →
↑
647.74 m
↓
↑
647.74 m
↓
N 57.978983°
W  8.206787°		 ← 647.75 m →
419 539 m²		 N 57.978983°
W  8.195801°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 15637 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 9872 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.477218627929688 y=0.301284790039062 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.477218627929688 × 215)
    floor (0.477218627929688 × 32768)
    floor (15637.5)     		tx = 15637
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.301284790039062 × 215)
    floor (0.301284790039062 × 32768)
    floor (9872.5)     		ty = 9872
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 15637 / 9872 ti = "15/15637/9872"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/15637/9872.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 15637 ÷ 215
    15637 ÷ 32768     		x = 0.477203369140625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 9872 ÷ 215
    9872 ÷ 32768     		y = 0.30126953125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.477203369140625 × 2 - 1) × π
    -0.04559326171875 × 3.1415926535     		Λ = -0.14323546
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.30126953125 × 2 - 1) × π
    0.3974609375 × 3.1415926535     		Φ = 1.24866036130322
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.14323546} λ = -0.14323546}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.24866036130322))-π/2
    2×atan(3.48567028951321)-π/2
    2×1.29141107142426-π/2
    2.58282214284852-1.57079632675     		φ = 1.01202582
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.14323546} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -8.206787°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.01202582 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 57.984808°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 15637 KachelY 9872 -0.14323546 1.01202582 -8.206787 57.984808
    Oben rechts KachelX + 1 15638 KachelY 9872 -0.14304371 1.01202582 -8.195801 57.984808
    Unten links KachelX 15637 KachelY + 1 9873 -0.14323546 1.01192415 -8.206787 57.978983
    Unten rechts KachelX + 1 15638 KachelY + 1 9873 -0.14304371 1.01192415 -8.195801 57.978983
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.01202582-1.01192415) × R
    0.000101670000000054 × 6371000     		dl = 647.739570000342m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.01202582-1.01192415) × R
    0.000101670000000054 × 6371000     		dr = 647.739570000342m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.14323546--0.14304371) × cos(1.01202582) × R
    0.000191750000000018 × 0.530144102296652 × 6371000     		do = 647.644843521667m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.14323546--0.14304371) × cos(1.01192415) × R
    0.000191750000000018 × 0.530230306318165 × 6371000     		du = 647.750153737855m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.01202582)-sin(1.01192415))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.530144102296652-0.530230306318165)×R²
    abs(-0.14304371--0.14323546)×8.62040215126036e-05×R²
    0.000191750000000018×8.62040215126036e-05×6371000²
    0.000191750000000018×8.62040215126036e-05×40589641000000     		ar = 419539.299614647m²