Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 15637 / 8718
↖ ↑ ↗
← N 64.101007°
W  8.206787°		 ← 533.59 m → N 64.101007°
W  8.195801°		 →
↑
533.63 m
↓
↑
533.63 m
↓
N 64.096208°
W  8.206787°		 ← 533.69 m →
284 769 m²		 N 64.096208°
W  8.195801°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 15637 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 8718 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.477218627929688 y=0.266067504882812 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.477218627929688 × 215)
    floor (0.477218627929688 × 32768)
    floor (15637.5)     		tx = 15637
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.266067504882812 × 215)
    floor (0.266067504882812 × 32768)
    floor (8718.5)     		ty = 8718
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 15637 / 8718 ti = "15/15637/8718"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/15637/8718.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 15637 ÷ 215
    15637 ÷ 32768     		x = 0.477203369140625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 8718 ÷ 215
    8718 ÷ 32768     		y = 0.26605224609375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.477203369140625 × 2 - 1) × π
    -0.04559326171875 × 3.1415926535     		Λ = -0.14323546
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.26605224609375 × 2 - 1) × π
    0.4678955078125 × 3.1415926535     		Φ = 1.4699370899494
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.14323546} λ = -0.14323546}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.4699370899494))-π/2
    2×atan(4.3489615390662)-π/2
    2×1.3447849722534-π/2
    2.68956994450681-1.57079632675     		φ = 1.11877362
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.14323546} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -8.206787°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.11877362 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 64.101007°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 15637 KachelY 8718 -0.14323546 1.11877362 -8.206787 64.101007
    Oben rechts KachelX + 1 15638 KachelY 8718 -0.14304371 1.11877362 -8.195801 64.101007
    Unten links KachelX 15637 KachelY + 1 8719 -0.14323546 1.11868986 -8.206787 64.096208
    Unten rechts KachelX + 1 15638 KachelY + 1 8719 -0.14304371 1.11868986 -8.195801 64.096208
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.11877362-1.11868986) × R
    8.37600000000993e-05 × 6371000     		dl = 533.634960000633m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.11877362-1.11868986) × R
    8.37600000000993e-05 × 6371000     		dr = 533.634960000633m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.14323546--0.14304371) × cos(1.11877362) × R
    0.000191750000000018 × 0.436785983545404 × 6371000     		do = 533.594901348971m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.14323546--0.14304371) × cos(1.11868986) × R
    0.000191750000000018 × 0.436861329615488 × 6371000     		du = 533.686947065518m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.11877362)-sin(1.11868986))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.436785983545404-0.436861329615488)×R²
    abs(-0.14304371--0.14323546)×7.53460700835262e-05×R²
    0.000191750000000018×7.53460700835262e-05×6371000²
    0.000191750000000018×7.53460700835262e-05×40589641000000     		ar = 284769.453410442m²