Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 15637 / 8525
↖ ↑ ↗
← N 65.011866°
W  8.206787°		 ← 516.06 m → N 65.011866°
W  8.195801°		 →
↑
516.11 m
↓
↑
516.11 m
↓
N 65.007224°
W  8.206787°		 ← 516.15 m →
266 368 m²		 N 65.007224°
W  8.195801°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 15637 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 8525 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.477218627929688 y=0.260177612304688 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.477218627929688 × 215)
    floor (0.477218627929688 × 32768)
    floor (15637.5)     		tx = 15637
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.260177612304688 × 215)
    floor (0.260177612304688 × 32768)
    floor (8525.5)     		ty = 8525
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 15637 / 8525 ti = "15/15637/8525"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/15637/8525.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 15637 ÷ 215
    15637 ÷ 32768     		x = 0.477203369140625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 8525 ÷ 215
    8525 ÷ 32768     		y = 0.260162353515625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.477203369140625 × 2 - 1) × π
    -0.04559326171875 × 3.1415926535     		Λ = -0.14323546
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.260162353515625 × 2 - 1) × π
    0.47967529296875 × 3.1415926535     		Φ = 1.50694437645609
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.14323546} λ = -0.14323546}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.50694437645609))-π/2
    2×atan(4.51291992028393)-π/2
    2×1.35273371816663-π/2
    2.70546743633327-1.57079632675     		φ = 1.13467111
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.14323546} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -8.206787°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.13467111 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 65.011866°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 15637 KachelY 8525 -0.14323546 1.13467111 -8.206787 65.011866
    Oben rechts KachelX + 1 15638 KachelY 8525 -0.14304371 1.13467111 -8.195801 65.011866
    Unten links KachelX 15637 KachelY + 1 8526 -0.14323546 1.13459010 -8.206787 65.007224
    Unten rechts KachelX + 1 15638 KachelY + 1 8526 -0.14304371 1.13459010 -8.195801 65.007224
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.13467111-1.13459010) × R
    8.1009999999937e-05 × 6371000     		dl = 516.114709999598m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.13467111-1.13459010) × R
    8.1009999999937e-05 × 6371000     		dr = 516.114709999598m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.14323546--0.14304371) × cos(1.13467111) × R
    0.000191750000000018 × 0.422430559777172 × 6371000     		do = 516.057752223314m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.14323546--0.14304371) × cos(1.13459010) × R
    0.000191750000000018 × 0.422503985473428 × 6371000     		du = 516.147451935819m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.13467111)-sin(1.13459010))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.422430559777172-0.422503985473428)×R²
    abs(-0.14304371--0.14323546)×7.34256962562352e-05×R²
    0.000191750000000018×7.34256962562352e-05×6371000²
    0.000191750000000018×7.34256962562352e-05×40589641000000     		ar = 266368.144948037m²