Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 15637 / 8520
↖ ↑ ↗
← N 65.035060°
W  8.206787°		 ← 515.61 m → N 65.035060°
W  8.195801°		 →
↑
515.61 m
↓
↑
515.61 m
↓
N 65.030423°
W  8.206787°		 ← 515.70 m →
265 874 m²		 N 65.030423°
W  8.195801°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 15637 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 8520 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.477218627929688 y=0.260025024414062 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.477218627929688 × 215)
    floor (0.477218627929688 × 32768)
    floor (15637.5)     		tx = 15637
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.260025024414062 × 215)
    floor (0.260025024414062 × 32768)
    floor (8520.5)     		ty = 8520
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 15637 / 8520 ti = "15/15637/8520"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/15637/8520.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 15637 ÷ 215
    15637 ÷ 32768     		x = 0.477203369140625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 8520 ÷ 215
    8520 ÷ 32768     		y = 0.260009765625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.477203369140625 × 2 - 1) × π
    -0.04559326171875 × 3.1415926535     		Λ = -0.14323546
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.260009765625 × 2 - 1) × π
    0.47998046875 × 3.1415926535     		Φ = 1.50790311444849
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.14323546} λ = -0.14323546}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.50790311444849))-π/2
    2×atan(4.51724870282073)-π/2
    2×1.35293613031434-π/2
    2.70587226062867-1.57079632675     		φ = 1.13507593
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.14323546} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -8.206787°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.13507593 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 65.035060°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 15637 KachelY 8520 -0.14323546 1.13507593 -8.206787 65.035060
    Oben rechts KachelX + 1 15638 KachelY 8520 -0.14304371 1.13507593 -8.195801 65.035060
    Unten links KachelX 15637 KachelY + 1 8521 -0.14323546 1.13499500 -8.206787 65.030423
    Unten rechts KachelX + 1 15638 KachelY + 1 8521 -0.14304371 1.13499500 -8.195801 65.030423
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.13507593-1.13499500) × R
    8.09299999999791e-05 × 6371000     		dl = 515.605029999867m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.13507593-1.13499500) × R
    8.09299999999791e-05 × 6371000     		dr = 515.605029999867m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.14323546--0.14304371) × cos(1.13507593) × R
    0.000191750000000018 × 0.422063598232002 × 6371000     		do = 515.609457596494m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.14323546--0.14304371) × cos(1.13499500) × R
    0.000191750000000018 × 0.422136965254267 × 6371000     		du = 515.699085630548m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.13507593)-sin(1.13499500))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.422063598232002-0.422136965254267)×R²
    abs(-0.14304371--0.14323546)×7.33670222652361e-05×R²
    0.000191750000000018×7.33670222652361e-05×6371000²
    0.000191750000000018×7.33670222652361e-05×40589641000000     		ar = 265873.936329618m²