Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
15 / 15637 / 6380
↖ ↑ ↗
← N 73.289993°
W  8.206787°		 ← 351.26 m → N 73.289993°
W  8.195801°		 →
↑
351.30 m
↓
↑
351.30 m
↓
N 73.286834°
W  8.206787°		 ← 351.32 m →
123 406 m²		 N 73.286834°
W  8.195801°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 15637 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 6380 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.477218627929688 y=0.194717407226562 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.477218627929688 × 215)
    floor (0.477218627929688 × 32768)
    floor (15637.5)     		tx = 15637
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.194717407226562 × 215)
    floor (0.194717407226562 × 32768)
    floor (6380.5)     		ty = 6380
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 15637 / 6380 ti = "15/15637/6380"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/15637/6380.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 15637 ÷ 215
    15637 ÷ 32768     		x = 0.477203369140625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 6380 ÷ 215
    6380 ÷ 32768     		y = 0.1947021484375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.477203369140625 × 2 - 1) × π
    -0.04559326171875 × 3.1415926535     		Λ = -0.14323546
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.1947021484375 × 2 - 1) × π
    0.610595703125 × 3.1415926535     		Φ = 1.91824297519617
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.14323546} λ = -0.14323546}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.91824297519617))-π/2
    2×atan(6.80898439852443)-π/2
    2×1.42497400968909-π/2
    2.84994801937817-1.57079632675     		φ = 1.27915169
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.14323546} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -8.206787°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.27915169 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 73.289993°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 15637 KachelY 6380 -0.14323546 1.27915169 -8.206787 73.289993
    Oben rechts KachelX + 1 15638 KachelY 6380 -0.14304371 1.27915169 -8.195801 73.289993
    Unten links KachelX 15637 KachelY + 1 6381 -0.14323546 1.27909655 -8.206787 73.286834
    Unten rechts KachelX + 1 15638 KachelY + 1 6381 -0.14304371 1.27909655 -8.195801 73.286834
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.27915169-1.27909655) × R
    5.51399999999536e-05 × 6371000     		dl = 351.296939999704m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.27915169-1.27909655) × R
    5.51399999999536e-05 × 6371000     		dr = 351.296939999704m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.14323546--0.14304371) × cos(1.27915169) × R
    0.000191750000000018 × 0.287527800804518 × 6371000     		do = 351.255246929014m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.14323546--0.14304371) × cos(1.27909655) × R
    0.000191750000000018 × 0.287580611931582 × 6371000     		du = 351.319763074673m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.27915169)-sin(1.27909655))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.287527800804518-0.287580611931582)×R²
    abs(-0.14304371--0.14323546)×5.28111270641785e-05×R²
    0.000191750000000018×5.28111270641785e-05×6371000²
    0.000191750000000018×5.28111270641785e-05×40589641000000     		ar = 123406.225598543m²