Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 15636 / 9942
↖ ↑ ↗
← N 57.574779°
W  8.217773°		 ← 655.01 m → N 57.574779°
W  8.206787°		 →
↑
655.07 m
↓
↑
655.07 m
↓
N 57.568888°
W  8.217773°		 ← 655.11 m →
429 108 m²		 N 57.568888°
W  8.206787°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 15636 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 9942 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.477188110351562 y=0.303421020507812 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.477188110351562 × 215)
    floor (0.477188110351562 × 32768)
    floor (15636.5)     		tx = 15636
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.303421020507812 × 215)
    floor (0.303421020507812 × 32768)
    floor (9942.5)     		ty = 9942
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 15636 / 9942 ti = "15/15636/9942"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/15636/9942.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 15636 ÷ 215
    15636 ÷ 32768     		x = 0.4771728515625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 9942 ÷ 215
    9942 ÷ 32768     		y = 0.30340576171875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4771728515625 × 2 - 1) × π
    -0.045654296875 × 3.1415926535     		Λ = -0.14342720
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.30340576171875 × 2 - 1) × π
    0.3931884765625 × 3.1415926535     		Φ = 1.23523802940961
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.14342720} λ = -0.14342720}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.23523802940961))-π/2
    2×atan(3.43919705332797)-π/2
    2×1.28783289382504-π/2
    2.57566578765007-1.57079632675     		φ = 1.00486946
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.14342720} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -8.217773°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.00486946 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 57.574779°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 15636 KachelY 9942 -0.14342720 1.00486946 -8.217773 57.574779
    Oben rechts KachelX + 1 15637 KachelY 9942 -0.14323546 1.00486946 -8.206787 57.574779
    Unten links KachelX 15636 KachelY + 1 9943 -0.14342720 1.00476664 -8.217773 57.568888
    Unten rechts KachelX + 1 15637 KachelY + 1 9943 -0.14323546 1.00476664 -8.206787 57.568888
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.00486946-1.00476664) × R
    0.00010282000000017 × 6371000     		dl = 655.066220001083m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.00486946-1.00476664) × R
    0.00010282000000017 × 6371000     		dr = 655.066220001083m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.14342720--0.14323546) × cos(1.00486946) × R
    0.000191739999999996 × 0.536198407045136 × 6371000     		do = 655.006858633287m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.14342720--0.14323546) × cos(1.00476664) × R
    0.000191739999999996 × 0.536285193747887 × 6371000     		du = 655.112875146566m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.00486946)-sin(1.00476664))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.536198407045136-0.536285193747887)×R²
    abs(-0.14323546--0.14342720)×8.6786702751529e-05×R²
    0.000191739999999996×8.6786702751529e-05×6371000²
    0.000191739999999996×8.6786702751529e-05×40589641000000     		ar = 429107.591255879m²