Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 15636 / 9873
↖ ↑ ↗
← N 57.978983°
W  8.217773°		 ← 647.72 m → N 57.978983°
W  8.206787°		 →
↑
647.74 m
↓
↑
647.74 m
↓
N 57.973158°
W  8.217773°		 ← 647.82 m →
419 586 m²		 N 57.973158°
W  8.206787°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 15636 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 9873 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.477188110351562 y=0.301315307617188 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.477188110351562 × 215)
    floor (0.477188110351562 × 32768)
    floor (15636.5)     		tx = 15636
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.301315307617188 × 215)
    floor (0.301315307617188 × 32768)
    floor (9873.5)     		ty = 9873
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 15636 / 9873 ti = "15/15636/9873"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/15636/9873.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 15636 ÷ 215
    15636 ÷ 32768     		x = 0.4771728515625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 9873 ÷ 215
    9873 ÷ 32768     		y = 0.301300048828125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4771728515625 × 2 - 1) × π
    -0.045654296875 × 3.1415926535     		Λ = -0.14342720
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.301300048828125 × 2 - 1) × π
    0.39739990234375 × 3.1415926535     		Φ = 1.24846861370474
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.14342720} λ = -0.14342720}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.24846861370474))-π/2
    2×atan(3.48500198468107)-π/2
    2×1.29136024036274-π/2
    2.58272048072549-1.57079632675     		φ = 1.01192415
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.14342720} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -8.217773°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.01192415 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 57.978983°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 15636 KachelY 9873 -0.14342720 1.01192415 -8.217773 57.978983
    Oben rechts KachelX + 1 15637 KachelY 9873 -0.14323546 1.01192415 -8.206787 57.978983
    Unten links KachelX 15636 KachelY + 1 9874 -0.14342720 1.01182248 -8.217773 57.973158
    Unten rechts KachelX + 1 15637 KachelY + 1 9874 -0.14323546 1.01182248 -8.206787 57.973158
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.01192415-1.01182248) × R
    0.000101670000000054 × 6371000     		dl = 647.739570000342m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.01192415-1.01182248) × R
    0.000101670000000054 × 6371000     		dr = 647.739570000342m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.14342720--0.14323546) × cos(1.01192415) × R
    0.000191739999999996 × 0.530230306318165 × 6371000     		do = 647.716372764963m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.14342720--0.14323546) × cos(1.01182248) × R
    0.000191739999999996 × 0.530316504858798 × 6371000     		du = 647.821670793785m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.01192415)-sin(1.01182248))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.530230306318165-0.530316504858798)×R²
    abs(-0.14323546--0.14342720)×8.61985406338528e-05×R²
    0.000191739999999996×8.61985406338528e-05×6371000²
    0.000191739999999996×8.61985406338528e-05×40589641000000     		ar = 419585.627987857m²