Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 15635 / 8729
↖ ↑ ↗
← N 64.048171°
W  8.228760°		 ← 534.61 m → N 64.048171°
W  8.217773°		 →
↑
534.59 m
↓
↑
534.59 m
↓
N 64.043363°
W  8.228760°		 ← 534.70 m →
285 821 m²		 N 64.043363°
W  8.217773°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 15635 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 8729 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.477157592773438 y=0.266403198242188 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.477157592773438 × 215)
    floor (0.477157592773438 × 32768)
    floor (15635.5)     		tx = 15635
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.266403198242188 × 215)
    floor (0.266403198242188 × 32768)
    floor (8729.5)     		ty = 8729
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 15635 / 8729 ti = "15/15635/8729"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/15635/8729.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 15635 ÷ 215
    15635 ÷ 32768     		x = 0.477142333984375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 8729 ÷ 215
    8729 ÷ 32768     		y = 0.266387939453125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.477142333984375 × 2 - 1) × π
    -0.04571533203125 × 3.1415926535     		Λ = -0.14361895
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.266387939453125 × 2 - 1) × π
    0.46722412109375 × 3.1415926535     		Φ = 1.46782786636612
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.14361895} λ = -0.14361895}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.46782786636612))-π/2
    2×atan(4.33979827390985)-π/2
    2×1.34432389538605-π/2
    2.68864779077211-1.57079632675     		φ = 1.11785146
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.14361895} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -8.228760°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.11785146 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 64.048171°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 15635 KachelY 8729 -0.14361895 1.11785146 -8.228760 64.048171
    Oben rechts KachelX + 1 15636 KachelY 8729 -0.14342720 1.11785146 -8.217773 64.048171
    Unten links KachelX 15635 KachelY + 1 8730 -0.14361895 1.11776755 -8.228760 64.043363
    Unten rechts KachelX + 1 15636 KachelY + 1 8730 -0.14342720 1.11776755 -8.217773 64.043363
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.11785146-1.11776755) × R
    8.39100000000759e-05 × 6371000     		dl = 534.590610000483m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.11785146-1.11776755) × R
    8.39100000000759e-05 × 6371000     		dr = 534.590610000483m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.14361895--0.14342720) × cos(1.11785146) × R
    0.000191749999999991 × 0.437615340989335 × 6371000     		do = 534.608076954679m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.14361895--0.14342720) × cos(1.11776755) × R
    0.000191749999999991 × 0.437690788155913 × 6371000     		du = 534.700246174672m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.11785146)-sin(1.11776755))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.437615340989335-0.437690788155913)×R²
    abs(-0.14342720--0.14361895)×7.54471665785905e-05×R²
    0.000191749999999991×7.54471665785905e-05×6371000²
    0.000191749999999991×7.54471665785905e-05×40589641000000     		ar = 285821.094538075m²