Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 15635 / 16557
↖ ↑ ↗
← N 79.081701°
W137.057190°		 ← 57.85 m → N 79.081701°
W137.054443°		 →
↑
57.85 m
↓
↑
57.85 m
↓
N 79.081181°
W137.057190°		 ← 57.85 m →
3 347 m²		 N 79.081181°
W137.054443°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 15635 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 16557 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.119289398193359 y=0.126323699951172 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.119289398193359 × 217)
    floor (0.119289398193359 × 131072)
    floor (15635.5)     		tx = 15635
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.126323699951172 × 217)
    floor (0.126323699951172 × 131072)
    floor (16557.5)     		ty = 16557
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 15635 / 16557 ti = "17/15635/16557"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/15635/16557.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 15635 ÷ 217
    15635 ÷ 131072     		x = 0.119285583496094
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 16557 ÷ 217
    16557 ÷ 131072     		y = 0.126319885253906
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.119285583496094 × 2 - 1) × π
    -0.761428833007812 × 3.1415926535     		Λ = -2.39209923
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.126319885253906 × 2 - 1) × π
    0.747360229492188 × 3.1415926535     		Φ = 2.34790140649073
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.39209923} λ = -2.39209923}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.34790140649073))-π/2
    2×atan(10.4635878497399)-π/2
    2×1.47551619154085-π/2
    2.9510323830817-1.57079632675     		φ = 1.38023606
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.39209923} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -137.057190°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.38023606 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.081701°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 15635 KachelY 16557 -2.39209923 1.38023606 -137.057190 79.081701
    Oben rechts KachelX + 1 15636 KachelY 16557 -2.39205129 1.38023606 -137.054443 79.081701
    Unten links KachelX 15635 KachelY + 1 16558 -2.39209923 1.38022698 -137.057190 79.081181
    Unten rechts KachelX + 1 15636 KachelY + 1 16558 -2.39205129 1.38022698 -137.054443 79.081181
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.38023606-1.38022698) × R
    9.08000000010567e-06 × 6371000     		dl = 57.8486800006732m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.38023606-1.38022698) × R
    9.08000000010567e-06 × 6371000     		dr = 57.8486800006732m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.39209923--2.39205129) × cos(1.38023606) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.189409049671804 × 6371000     		do = 57.8503991586695m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.39209923--2.39205129) × cos(1.38022698) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.189417965300284 × 6371000     		du = 57.8531222210956m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.38023606)-sin(1.38022698))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.189409049671804-0.189417965300284)×R²
    abs(-2.39205129--2.39209923)×8.91562848018279e-06×R²
    4.79399999999686e-05×8.91562848018279e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×8.91562848018279e-06×40589641000000     		ar = 3346.64799169948m²