Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
15 / 15635 / 10030
↖ ↑ ↗
← N 57.052682°
W  8.228760°		 ← 664.41 m → N 57.052682°
W  8.217773°		 →
↑
664.50 m
↓
↑
664.50 m
↓
N 57.046706°
W  8.228760°		 ← 664.52 m →
441 533 m²		 N 57.046706°
W  8.217773°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 15635 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10030 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.477157592773438 y=0.306106567382812 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.477157592773438 × 215)
    floor (0.477157592773438 × 32768)
    floor (15635.5)     		tx = 15635
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.306106567382812 × 215)
    floor (0.306106567382812 × 32768)
    floor (10030.5)     		ty = 10030
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 15635 / 10030 ti = "15/15635/10030"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/15635/10030.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 15635 ÷ 215
    15635 ÷ 32768     		x = 0.477142333984375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10030 ÷ 215
    10030 ÷ 32768     		y = 0.30609130859375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.477142333984375 × 2 - 1) × π
    -0.04571533203125 × 3.1415926535     		Λ = -0.14361895
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.30609130859375 × 2 - 1) × π
    0.3878173828125 × 3.1415926535     		Φ = 1.21836424074335
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.14361895} λ = -0.14361895}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.21836424074335))-π/2
    2×atan(3.38165163902545)-π/2
    2×1.28327673719891-π/2
    2.56655347439781-1.57079632675     		φ = 0.99575715
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.14361895} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -8.228760°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.99575715 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 57.052682°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 15635 KachelY 10030 -0.14361895 0.99575715 -8.228760 57.052682
    Oben rechts KachelX + 1 15636 KachelY 10030 -0.14342720 0.99575715 -8.217773 57.052682
    Unten links KachelX 15635 KachelY + 1 10031 -0.14361895 0.99565285 -8.228760 57.046706
    Unten rechts KachelX + 1 15636 KachelY + 1 10031 -0.14342720 0.99565285 -8.217773 57.046706
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.99575715-0.99565285) × R
    0.000104299999999946 × 6371000     		dl = 664.495299999657m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.99575715-0.99565285) × R
    0.000104299999999946 × 6371000     		dr = 664.495299999657m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.14361895--0.14342720) × cos(0.99575715) × R
    0.000191749999999991 × 0.543867667131 × 6371000     		do = 664.410088973132m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.14361895--0.14342720) × cos(0.99565285) × R
    0.000191749999999991 × 0.543955189707502 × 6371000     		du = 664.517009987848m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.99575715)-sin(0.99565285))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.543867667131-0.543955189707502)×R²
    abs(-0.14342720--0.14361895)×8.75225765021304e-05×R²
    0.000191749999999991×8.75225765021304e-05×6371000²
    0.000191749999999991×8.75225765021304e-05×40589641000000     		ar = 441532.906051246m²