Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
15 / 15634 / 19762
↖ ↑ ↗
← S 34.759666°
W  8.239746°		 ← 1 003.64 m → S 34.759666°
W  8.228760°		 →
↑
1 003.56 m
↓
↑
1 003.56 m
↓
S 34.768691°
W  8.239746°		 ← 1 003.53 m →
1 007 156 m²		 S 34.768691°
W  8.228760°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 15634 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 19762 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.477127075195312 y=0.603103637695312 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.477127075195312 × 215)
    floor (0.477127075195312 × 32768)
    floor (15634.5)     		tx = 15634
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.603103637695312 × 215)
    floor (0.603103637695312 × 32768)
    floor (19762.5)     		ty = 19762
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 15634 / 19762 ti = "15/15634/19762"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/15634/19762.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 15634 ÷ 215
    15634 ÷ 32768     		x = 0.47711181640625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 19762 ÷ 215
    19762 ÷ 32768     		y = 0.60308837890625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.47711181640625 × 2 - 1) × π
    -0.0457763671875 × 3.1415926535     		Λ = -0.14381070
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.60308837890625 × 2 - 1) × π
    -0.2061767578125 × 3.1415926535     		Φ = -0.647723387666199
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.14381070} λ = -0.14381070}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.647723387666199))-π/2
    2×atan(0.523235626514599)-π/2
    2×0.482062853020404-π/2
    0.964125706040808-1.57079632675     		φ = -0.60667062
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.14381070} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -8.239746°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.60667062 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -34.759666°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 15634 KachelY 19762 -0.14381070 -0.60667062 -8.239746 -34.759666
    Oben rechts KachelX + 1 15635 KachelY 19762 -0.14361895 -0.60667062 -8.228760 -34.759666
    Unten links KachelX 15634 KachelY + 1 19763 -0.14381070 -0.60682814 -8.239746 -34.768691
    Unten rechts KachelX + 1 15635 KachelY + 1 19763 -0.14361895 -0.60682814 -8.228760 -34.768691
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.60667062--0.60682814) × R
    0.000157519999999911 × 6371000     		dl = 1003.55991999943m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.60667062--0.60682814) × R
    0.000157519999999911 × 6371000     		dr = 1003.55991999943m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.14381070--0.14361895) × cos(-0.60667062) × R
    0.000191750000000018 × 0.82155076498497 × 6371000     		do = 1003.63866037326m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.14381070--0.14361895) × cos(-0.60682814) × R
    0.000191750000000018 × 0.821460947069416 × 6371000     		du = 1003.52893528227m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.60667062)-sin(-0.60682814))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.82155076498497-0.821460947069416)×R²
    abs(-0.14361895--0.14381070)×8.98179155548462e-05×R²
    0.000191750000000018×8.98179155548462e-05×6371000²
    0.000191750000000018×8.98179155548462e-05×40589641000000     		ar = 1007156.47794379m²