Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 15633 / 9863
↖ ↑ ↗
← N 58.037189°
W  8.250733°		 ← 646.70 m → N 58.037189°
W  8.239746°		 →
↑
646.72 m
↓
↑
646.72 m
↓
N 58.031373°
W  8.250733°		 ← 646.80 m →
418 266 m²		 N 58.031373°
W  8.239746°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 15633 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 9863 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.477096557617188 y=0.301010131835938 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.477096557617188 × 215)
    floor (0.477096557617188 × 32768)
    floor (15633.5)     		tx = 15633
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.301010131835938 × 215)
    floor (0.301010131835938 × 32768)
    floor (9863.5)     		ty = 9863
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 15633 / 9863 ti = "15/15633/9863"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/15633/9863.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 15633 ÷ 215
    15633 ÷ 32768     		x = 0.477081298828125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 9863 ÷ 215
    9863 ÷ 32768     		y = 0.300994873046875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.477081298828125 × 2 - 1) × π
    -0.04583740234375 × 3.1415926535     		Λ = -0.14400245
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.300994873046875 × 2 - 1) × π
    0.39801025390625 × 3.1415926535     		Φ = 1.25038608968954
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.14400245} λ = -0.14400245}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.25038608968954))-π/2
    2×atan(3.49169080306859)-π/2
    2×1.29186817921159-π/2
    2.58373635842317-1.57079632675     		φ = 1.01294003
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.14400245} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -8.250733°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.01294003 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 58.037189°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 15633 KachelY 9863 -0.14400245 1.01294003 -8.250733 58.037189
    Oben rechts KachelX + 1 15634 KachelY 9863 -0.14381070 1.01294003 -8.239746 58.037189
    Unten links KachelX 15633 KachelY + 1 9864 -0.14400245 1.01283852 -8.250733 58.031373
    Unten rechts KachelX + 1 15634 KachelY + 1 9864 -0.14381070 1.01283852 -8.239746 58.031373
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.01294003-1.01283852) × R
    0.000101509999999916 × 6371000     		dl = 646.720209999464m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.01294003-1.01283852) × R
    0.000101509999999916 × 6371000     		dr = 646.720209999464m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.14400245--0.14381070) × cos(1.01294003) × R
    0.000191749999999991 × 0.529368715292052 × 6371000     		do = 646.697600322814m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.14400245--0.14381070) × cos(1.01283852) × R
    0.000191749999999991 × 0.529454832823138 × 6371000     		du = 646.802804878902m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.01294003)-sin(1.01283852))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.529368715292052-0.529454832823138)×R²
    abs(-0.14381070--0.14400245)×8.61175310855611e-05×R²
    0.000191749999999991×8.61175310855611e-05×6371000²
    0.000191749999999991×8.61175310855611e-05×40589641000000     		ar = 418266.427202385m²