Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 15633 / 19751
↖ ↑ ↗
← S 34.660323°
W  8.250733°		 ← 1 004.84 m → S 34.660323°
W  8.239746°		 →
↑
1 004.77 m
↓
↑
1 004.77 m
↓
S 34.669359°
W  8.250733°		 ← 1 004.74 m →
1 009 583 m²		 S 34.669359°
W  8.239746°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 15633 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 19751 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.477096557617188 y=0.602767944335938 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.477096557617188 × 215)
    floor (0.477096557617188 × 32768)
    floor (15633.5)     		tx = 15633
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.602767944335938 × 215)
    floor (0.602767944335938 × 32768)
    floor (19751.5)     		ty = 19751
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 15633 / 19751 ti = "15/15633/19751"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/15633/19751.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 15633 ÷ 215
    15633 ÷ 32768     		x = 0.477081298828125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 19751 ÷ 215
    19751 ÷ 32768     		y = 0.602752685546875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.477081298828125 × 2 - 1) × π
    -0.04583740234375 × 3.1415926535     		Λ = -0.14400245
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.602752685546875 × 2 - 1) × π
    -0.20550537109375 × 3.1415926535     		Φ = -0.645614164082916
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.14400245} λ = -0.14400245}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.645614164082916))-π/2
    2×atan(0.52434041214803)-π/2
    2×0.482929790870679-π/2
    0.965859581741358-1.57079632675     		φ = -0.60493675
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.14400245} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -8.250733°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.60493675 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -34.660323°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 15633 KachelY 19751 -0.14400245 -0.60493675 -8.250733 -34.660323
    Oben rechts KachelX + 1 15634 KachelY 19751 -0.14381070 -0.60493675 -8.239746 -34.660323
    Unten links KachelX 15633 KachelY + 1 19752 -0.14400245 -0.60509446 -8.250733 -34.669359
    Unten rechts KachelX + 1 15634 KachelY + 1 19752 -0.14381070 -0.60509446 -8.239746 -34.669359
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.60493675--0.60509446) × R
    0.000157709999999978 × 6371000     		dl = 1004.77040999986m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.60493675--0.60509446) × R
    0.000157709999999978 × 6371000     		dr = 1004.77040999986m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.14400245--0.14381070) × cos(-0.60493675) × R
    0.000191749999999991 × 0.822538070188444 × 6371000     		do = 1004.84479116141m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.14400245--0.14381070) × cos(-0.60509446) × R
    0.000191749999999991 × 0.82244836869727 × 6371000     		du = 1004.73520829901m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.60493675)-sin(-0.60509446))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.822538070188444-0.82244836869727)×R²
    abs(-0.14381070--0.14400245)×8.97014911735994e-05×R²
    0.000191749999999991×8.97014911735994e-05×6371000²
    0.000191749999999991×8.97014911735994e-05×40589641000000     		ar = 1009583.26208564m²