Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 15632 / 8665
↖ ↑ ↗
← N 64.354177°
W  8.261719°		 ← 528.71 m → N 64.354177°
W  8.250733°		 →
↑
528.79 m
↓
↑
528.79 m
↓
N 64.349421°
W  8.261719°		 ← 528.80 m →
279 600 m²		 N 64.349421°
W  8.250733°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 15632 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 8665 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.477066040039062 y=0.264450073242188 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.477066040039062 × 215)
    floor (0.477066040039062 × 32768)
    floor (15632.5)     		tx = 15632
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.264450073242188 × 215)
    floor (0.264450073242188 × 32768)
    floor (8665.5)     		ty = 8665
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 15632 / 8665 ti = "15/15632/8665"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/15632/8665.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 15632 ÷ 215
    15632 ÷ 32768     		x = 0.47705078125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 8665 ÷ 215
    8665 ÷ 32768     		y = 0.264434814453125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.47705078125 × 2 - 1) × π
    -0.0458984375 × 3.1415926535     		Λ = -0.14419419
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.264434814453125 × 2 - 1) × π
    0.47113037109375 × 3.1415926535     		Φ = 1.48009971266885
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.14419419} λ = -0.14419419}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.48009971266885))-π/2
    2×atan(4.39338373509614)-π/2
    2×1.3469942964586-π/2
    2.6939885929172-1.57079632675     		φ = 1.12319227
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.14419419} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -8.261719°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.12319227 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 64.354177°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 15632 KachelY 8665 -0.14419419 1.12319227 -8.261719 64.354177
    Oben rechts KachelX + 1 15633 KachelY 8665 -0.14400245 1.12319227 -8.250733 64.354177
    Unten links KachelX 15632 KachelY + 1 8666 -0.14419419 1.12310927 -8.261719 64.349421
    Unten rechts KachelX + 1 15633 KachelY + 1 8666 -0.14400245 1.12310927 -8.250733 64.349421
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.12319227-1.12310927) × R
    8.30000000000553e-05 × 6371000     		dl = 528.793000000352m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.12319227-1.12310927) × R
    8.30000000000553e-05 × 6371000     		dr = 528.793000000352m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.14419419--0.14400245) × cos(1.12319227) × R
    0.000191739999999996 × 0.432806867590158 × 6371000     		do = 528.706282992144m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.14419419--0.14400245) × cos(1.12310927) × R
    0.000191739999999996 × 0.432881689492841 × 6371000     		du = 528.797683598318m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.12319227)-sin(1.12310927))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.432806867590158-0.432881689492841)×R²
    abs(-0.14400245--0.14419419)×7.48219026830976e-05×R²
    0.000191739999999996×7.48219026830976e-05×6371000²
    0.000191739999999996×7.48219026830976e-05×40589641000000     		ar = 279600.34766324m²