Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 15632 / 7890
↖ ↑ ↗
← N 67.800944°
W  8.261719°		 ← 461.54 m → N 67.800944°
W  8.250733°		 →
↑
461.58 m
↓
↑
461.58 m
↓
N 67.796793°
W  8.261719°		 ← 461.62 m →
213 057 m²		 N 67.796793°
W  8.250733°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 15632 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 7890 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.477066040039062 y=0.240798950195312 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.477066040039062 × 215)
    floor (0.477066040039062 × 32768)
    floor (15632.5)     		tx = 15632
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.240798950195312 × 215)
    floor (0.240798950195312 × 32768)
    floor (7890.5)     		ty = 7890
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 15632 / 7890 ti = "15/15632/7890"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/15632/7890.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 15632 ÷ 215
    15632 ÷ 32768     		x = 0.47705078125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 7890 ÷ 215
    7890 ÷ 32768     		y = 0.24078369140625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.47705078125 × 2 - 1) × π
    -0.0458984375 × 3.1415926535     		Λ = -0.14419419
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.24078369140625 × 2 - 1) × π
    0.5184326171875 × 3.1415926535     		Φ = 1.62870410149103
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.14419419} λ = -0.14419419}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.62870410149103))-π/2
    2×atan(5.09726489865188)-π/2
    2×1.37707301907107-π/2
    2.75414603814213-1.57079632675     		φ = 1.18334971
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.14419419} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -8.261719°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.18334971 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 67.800944°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 15632 KachelY 7890 -0.14419419 1.18334971 -8.261719 67.800944
    Oben rechts KachelX + 1 15633 KachelY 7890 -0.14400245 1.18334971 -8.250733 67.800944
    Unten links KachelX 15632 KachelY + 1 7891 -0.14419419 1.18327726 -8.261719 67.796793
    Unten rechts KachelX + 1 15633 KachelY + 1 7891 -0.14400245 1.18327726 -8.250733 67.796793
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.18334971-1.18327726) × R
    7.24500000000017e-05 × 6371000     		dl = 461.578950000011m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.18334971-1.18327726) × R
    7.24500000000017e-05 × 6371000     		dr = 461.578950000011m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.14419419--0.14400245) × cos(1.18334971) × R
    0.000191739999999996 × 0.377825531060666 × 6371000     		do = 461.542427131209m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.14419419--0.14400245) × cos(1.18327726) × R
    0.000191739999999996 × 0.377892609843919 × 6371000     		du = 461.624368932084m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.18334971)-sin(1.18327726))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.377825531060666-0.377892609843919)×R²
    abs(-0.14400245--0.14419419)×6.70787832528497e-05×R²
    0.000191739999999996×6.70787832528497e-05×6371000²
    0.000191739999999996×6.70787832528497e-05×40589641000000     		ar = 213057.180293506m²