Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
15 / 15632 / 19152
S 29.075375°
W  8.261719°
← 1 067.63 m → S 29.075375°
W  8.250733°

1 067.59 m

1 067.59 m
S 29.084976°
W  8.261719°
← 1 067.53 m →
1 139 741 m²
S 29.084976°
W  8.250733°

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 15632 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 19152 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.477066040039062 y=0.584487915039062 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.477066040039062 × 215)
    floor (0.477066040039062 × 32768)
    floor (15632.5)
    tx = 15632
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.584487915039062 × 215)
    floor (0.584487915039062 × 32768)
    floor (19152.5)
    ty = 19152
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 15632 / 19152 ti = "15/15632/19152"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/15632/19152.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 15632 ÷ 215
    15632 ÷ 32768
    x = 0.47705078125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 19152 ÷ 215
    19152 ÷ 32768
    y = 0.58447265625
    Länge (Λ)
    (Merkator)
    +(x × 2 - 1) × π +(0.47705078125 × 2 - 1) × π
    -0.0458984375 × 3.1415926535
    Λ = -0.14419419
    Breite (Φ)
    (Merkator)
    -(y × 2 - 1) × π -(0.58447265625 × 2 - 1) × π
    -0.1689453125 × 3.1415926535
    Φ = -0.530757352593262
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.14419419} λ = -0.14419419}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.530757352593262))-π/2
    2×atan(0.588159356942443)-π/2
    2×0.531667649336112-π/2
    1.06333529867222-1.57079632675
    φ = -0.50746103
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.14419419} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -8.261719°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.50746103 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -29.075375°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 15632 KachelY 19152 -0.14419419 -0.50746103 -8.261719 -29.075375
    Oben rechts KachelX + 1 15633 KachelY 19152 -0.14400245 -0.50746103 -8.250733 -29.075375
    Unten links KachelX 15632 KachelY + 1 19153 -0.14419419 -0.50762860 -8.261719 -29.084976
    Unten rechts KachelX + 1 15633 KachelY + 1 19153 -0.14400245 -0.50762860 -8.250733 -29.084976
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOLUL) × R abs(-0.50746103--0.50762860) × R
    0.000167570000000006 × 6371000
    dl = 1067.58847000004m
    Rechte Seite abs(φORUR) × R abs(-0.50746103--0.50762860) × R
    0.000167570000000006 × 6371000
    dr = 1067.58847000004m
    Obere Seite abs(λOLOR) × cos(φOL) × R abs(-0.14419419--0.14400245) × cos(-0.50746103) × R
    0.000191739999999996 × 0.873981160683682 × 6371000
    do = 1067.63400831197m
    Untere Seite abs(λULUR) × cos(φUL) × R abs(-0.14419419--0.14400245) × cos(-0.50762860) × R
    0.000191739999999996 × 0.873899716129198 × 6371000
    du = 1067.53451763635m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ12)×abs(sinφ1-sinφ2)× abs(λ12)×abs(sin(-0.50746103)-sin(-0.50762860))×
    abs(λ12)×abs(0.873981160683682-0.873899716129198)×
    abs(-0.14400245--0.14419419)×8.14445544842224e-05×
    0.000191739999999996×8.14445544842224e-05×6371000²
    0.000191739999999996×8.14445544842224e-05×40589641000000
    ar = 1139740.65257176m²