Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 15632 / 16564
↖ ↑ ↗
← N 79.078059°
W137.065430°		 ← 57.87 m → N 79.078059°
W137.062683°		 →
↑
57.85 m
↓
↑
57.85 m
↓
N 79.077538°
W137.065430°		 ← 57.87 m →
3 348 m²		 N 79.077538°
W137.062683°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 15632 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 16564 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.119266510009766 y=0.126377105712891 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.119266510009766 × 217)
    floor (0.119266510009766 × 131072)
    floor (15632.5)     		tx = 15632
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.126377105712891 × 217)
    floor (0.126377105712891 × 131072)
    floor (16564.5)     		ty = 16564
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 15632 / 16564 ti = "17/15632/16564"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/15632/16564.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 15632 ÷ 217
    15632 ÷ 131072     		x = 0.1192626953125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 16564 ÷ 217
    16564 ÷ 131072     		y = 0.126373291015625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.1192626953125 × 2 - 1) × π
    -0.761474609375 × 3.1415926535     		Λ = -2.39224304
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.126373291015625 × 2 - 1) × π
    0.74725341796875 × 3.1415926535     		Φ = 2.34756584819339
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.39224304} λ = -2.39224304}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.34756584819339))-π/2
    2×atan(10.4600772950478)-π/2
    2×1.47548440741526-π/2
    2.95096881483052-1.57079632675     		φ = 1.38017249
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.39224304} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -137.065430°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.38017249 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.078059°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 15632 KachelY 16564 -2.39224304 1.38017249 -137.065430 79.078059
    Oben rechts KachelX + 1 15633 KachelY 16564 -2.39219510 1.38017249 -137.062683 79.078059
    Unten links KachelX 15632 KachelY + 1 16565 -2.39224304 1.38016341 -137.065430 79.077538
    Unten rechts KachelX + 1 15633 KachelY + 1 16565 -2.39219510 1.38016341 -137.062683 79.077538
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.38017249-1.38016341) × R
    9.08000000010567e-06 × 6371000     		dl = 57.8486800006732m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.38017249-1.38016341) × R
    9.08000000010567e-06 × 6371000     		dr = 57.8486800006732m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.39224304--2.39219510) × cos(1.38017249) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.189471468562047 × 6371000     		do = 57.8694634944121m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.39224304--2.39219510) × cos(1.38016341) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.189480384081177 × 6371000     		du = 57.8721865234398m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.38017249)-sin(1.38016341))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.189471468562047-0.189480384081177)×R²
    abs(-2.39219510--2.39224304)×8.91551912973743e-06×R²
    4.79399999999686e-05×8.91551912973743e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×8.91551912973743e-06×40589641000000     		ar = 3347.75083728019m²