Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 15631 / 8666
↖ ↑ ↗
← N 64.349421°
W  8.272705°		 ← 528.83 m → N 64.349421°
W  8.261719°		 →
↑
528.86 m
↓
↑
528.86 m
↓
N 64.344665°
W  8.272705°		 ← 528.92 m →
279 697 m²		 N 64.344665°
W  8.261719°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 15631 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 8666 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.477035522460938 y=0.264480590820312 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.477035522460938 × 215)
    floor (0.477035522460938 × 32768)
    floor (15631.5)     		tx = 15631
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.264480590820312 × 215)
    floor (0.264480590820312 × 32768)
    floor (8666.5)     		ty = 8666
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 15631 / 8666 ti = "15/15631/8666"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/15631/8666.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 15631 ÷ 215
    15631 ÷ 32768     		x = 0.477020263671875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 8666 ÷ 215
    8666 ÷ 32768     		y = 0.26446533203125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.477020263671875 × 2 - 1) × π
    -0.04595947265625 × 3.1415926535     		Λ = -0.14438594
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.26446533203125 × 2 - 1) × π
    0.4710693359375 × 3.1415926535     		Φ = 1.47990796507037
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.14438594} λ = -0.14438594}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.47990796507037))-π/2
    2×atan(4.39254139507666)-π/2
    2×1.34695279803302-π/2
    2.69390559606604-1.57079632675     		φ = 1.12310927
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.14438594} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -8.272705°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.12310927 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 64.349421°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 15631 KachelY 8666 -0.14438594 1.12310927 -8.272705 64.349421
    Oben rechts KachelX + 1 15632 KachelY 8666 -0.14419419 1.12310927 -8.261719 64.349421
    Unten links KachelX 15631 KachelY + 1 8667 -0.14438594 1.12302626 -8.272705 64.344665
    Unten rechts KachelX + 1 15632 KachelY + 1 8667 -0.14419419 1.12302626 -8.261719 64.344665
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.12310927-1.12302626) × R
    8.30099999999945e-05 × 6371000     		dl = 528.856709999965m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.12310927-1.12302626) × R
    8.30099999999945e-05 × 6371000     		dr = 528.856709999965m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.14438594--0.14419419) × cos(1.12310927) × R
    0.000191749999999991 × 0.432881689492841 × 6371000     		do = 528.825262490741m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.14438594--0.14419419) × cos(1.12302626) × R
    0.000191749999999991 × 0.43295651742755 × 6371000     		du = 528.916675232779m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.12310927)-sin(1.12302626))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.432881689492841-0.43295651742755)×R²
    abs(-0.14419419--0.14438594)×7.4827934709143e-05×R²
    0.000191749999999991×7.4827934709143e-05×6371000²
    0.000191749999999991×7.4827934709143e-05×40589641000000     		ar = 279696.960767987m²