Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 15630 / 9833
↖ ↑ ↗
← N 58.211238°
W  8.283691°		 ← 643.55 m → N 58.211238°
W  8.272705°		 →
↑
643.53 m
↓
↑
643.53 m
↓
N 58.205450°
W  8.283691°		 ← 643.65 m →
414 178 m²		 N 58.205450°
W  8.272705°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 15630 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 9833 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.477005004882812 y=0.300094604492188 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.477005004882812 × 215)
    floor (0.477005004882812 × 32768)
    floor (15630.5)     		tx = 15630
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.300094604492188 × 215)
    floor (0.300094604492188 × 32768)
    floor (9833.5)     		ty = 9833
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 15630 / 9833 ti = "15/15630/9833"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/15630/9833.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 15630 ÷ 215
    15630 ÷ 32768     		x = 0.47698974609375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 9833 ÷ 215
    9833 ÷ 32768     		y = 0.300079345703125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.47698974609375 × 2 - 1) × π
    -0.0460205078125 × 3.1415926535     		Λ = -0.14457769
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.300079345703125 × 2 - 1) × π
    0.39984130859375 × 3.1415926535     		Φ = 1.25613851764395
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.14457769} λ = -0.14457769}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.25613851764395))-π/2
    2×atan(3.51183438455633)-π/2
    2×1.29338704527548-π/2
    2.58677409055097-1.57079632675     		φ = 1.01597776
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.14457769} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -8.283691°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.01597776 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 58.211238°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 15630 KachelY 9833 -0.14457769 1.01597776 -8.283691 58.211238
    Oben rechts KachelX + 1 15631 KachelY 9833 -0.14438594 1.01597776 -8.272705 58.211238
    Unten links KachelX 15630 KachelY + 1 9834 -0.14457769 1.01587675 -8.283691 58.205450
    Unten rechts KachelX + 1 15631 KachelY + 1 9834 -0.14438594 1.01587675 -8.272705 58.205450
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.01597776-1.01587675) × R
    0.000101009999999846 × 6371000     		dl = 643.534709999019m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.01597776-1.01587675) × R
    0.000101009999999846 × 6371000     		dr = 643.534709999019m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.14457769--0.14438594) × cos(1.01597776) × R
    0.000191750000000018 × 0.526789091370289 × 6371000     		do = 643.546230489842m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.14457769--0.14438594) × cos(1.01587675) × R
    0.000191750000000018 × 0.526874946781844 × 6371000     		du = 643.651114830423m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.01597776)-sin(1.01587675))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.526789091370289-0.526874946781844)×R²
    abs(-0.14438594--0.14457769)×8.58554115549248e-05×R²
    0.000191750000000018×8.58554115549248e-05×6371000²
    0.000191750000000018×8.58554115549248e-05×40589641000000     		ar = 414178.085517671m²